【BZOJ 3812】 3812: 主旋律 （容斥原理**）

3812: 主旋律

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Description

响应主旋律的号召，大家决定让这个班级充满爱，现在班级里面有 n 个男生。

如果 a 爱着 b，那么就相当于 a 和 b 之间有一条 a→b 的有向边。如果这 n 个点的图是强联通的，那么就认为这个班级是充满爱的。

不幸的是，有一些不好的事情发生了，现在每一条边都可能被摧毁。我作为爱的使者，想知道有多少种摧毁的方式，使得这个班级任然充满爱呢？（说人话就是有多少边的子集删去之后整个图仍然强联通。）

Input

第一行两个数 n 和 m，表示班级里的男生数和爱的关系数。

接下来 m 行，每行两个数 a 和 b，表示男生 a 爱着男生 b。同时 a 不等于 b。

所有男生从 1 到 n 标号。

同一条边不会出现两遍，但可能出现 a 爱着 b，b 也爱着 a 的情况，这是两条不同的边。

Output

输出一行一个整数,表示对 109+7 取模后的答案。

Sample Input

5 15
4 3
4 2
2 5
2 1
1 2
5 1
3 2
4 1
1 4
5 4
3 4
5 3
2 3
1 5
3 1

Sample Output

9390

HINT

对于 100% 的数据满足: n≤15,0≤m≤n(n−1)。

Source

2015年国家集训队测试

【分析】

　　此乃神题也！

　　看了好久题解啊。。【想不出来还不懂。。

　　嗯。。要ORZ男神。。他的题解好懂多了。

　　题解都看了一天才看懂TAT。。
     考虑求出非强联通即dag的方案数用全部情况减
     注意统计dag从出度为0的点入手，这题中就是缩点后出度为0的点
     先考虑一个辣鸡做法
     若现全集为s，我们已经知道某种方案子集t会缩成k个强连通分量,这些强连通分量出入度都为0
     那么我们可以得出s至少缩成k个出度0强连通分量的一类方案数(即用t中这k个限制最小的方案)为2^x(x为s^t里的点为起点，s里的点为终点的边数)。因为这x条边的所有连     法，包括了所有缩点后有大于等于k个的方案。
        (容斥很重要的一点就是设置“至少为。。” 状态，注意“至少k状态”应包含所有“为x状态”，其中k是x的子集
　　然后我们就上容斥，对于至少k个出度0的方案，当k为奇数时就减，当k为偶数时就加
　　现在考虑正解
　　我们枚举一个子集的某种方案，看他的出度0个数是奇还是偶太慢了
　　注意对于一种方案我们关心的只是他是哪个点集，他缩完点后有奇数个出度为0还是偶数个出度为0，其中奇数时就-1，偶数时就+1
　　那我们可以设g[s]表示s这个点集所有缩点成若干个强连通分量方案的贡献和，其中缩成奇数个的方案贡献-1，偶数的贡献+1
　　设f[s]表示s为一个强连通方案数，s内部有h[s]条边，那么
　　f[s]=2^h[s]+sigma (2^cnt) * g[t]
　　t为s的子集，cnt为起点在s^t中,终点在t中的边数
　　注意这一步是已经带上容斥的，因为g[t]是容斥贡献和
　　然后
　　g[s]=-f[t] * g[s^t] - f[s];
　　其中t为包含s最小标号节点子集。g表示缩为若干个出度0强连通，t就是枚举最小标号所在强连通，这样保证情况不重不漏。前面的-代表，加入t这个强连通分量后，原来方案的强连通数奇偶取反，所以贡献正负取反。最后-f[s]就表示单独s这一个强连通分量，因为1是奇数，所以每种方案贡献是-1
　　然后就做完辣owo

　　一个DAG肯定由一些没有出度的点构成，那么我们可以考虑枚举没有出度的点的子集T。那么S-T中的边和S-T 到T之间的边也可以随便连。

　　但是我们这样连出来不能保证S-T中没有出度为0的点（或者强联通分量）。而且有可能会重复计算。【这个要用容斥

　　比如说两个出度为0的点u,v，枚举T={u}的和T={v}时都会计算u,v。 【这个我们枚举s的最小节点集就可以避免这样的重复

　　g数组的意思，其实是把s分成若干个互不影响的强联通块的方案数的和，求和时要冠以符号$(-1)^t$,t表示分成了多少个强联通块。【容斥部分

　　这个是方便容斥的。不然你枚举了处于T集合的点之后还要枚举强联通块慢死

　　关于容斥方面。

　　男神说的很好。就是，容斥重点是“至少k。。。”

　　要算至少有k个出度为0，就是减掉。。。，加上。。。

　　Ans=总数-非强联通个数

　　非强联通即缩点后的DAG的个数>=2。

　　最后只要枚举处于T集合的点，然后累加就好，因为在g数组里面考虑了容斥的正负号了。

不懂也可以看代码：

 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 #define Maxn (1<<15)+10
 #define N 20
 #define M 410
 #define Mod 1000000007
 #define LL long long

 int ru[N],chu[N];
 int pw[M],h[Maxn],w[Maxn],d[Maxn];
 int g[Maxn],f[Maxn],num[Maxn];

 void init(int n,int m)
 {
     pw[]=;for(int i=;i<=m;i++) pw[i]=1LL*pw[i-]*%Mod;
     for(int i=;i<=n;i++) w[<<i-]=i,chu[i]=ru[i]=;
     for(int i=;i<(<<n);i++) d[i]=d[i>>]+(i&);
 }

 int lowbit(int x) {return x&(-x);}

 int main()
 {
     int n,m;
     scanf("%d%d",&n,&m);
     init(n,m);
     for(int i=;i<=m;i++)
     {
         int x,y;
         scanf("%d%d",&x,&y);
         ru[y]|=<<x-;
         chu[x]|=<<y-;
     }
     int ss=(<<n)-;
     for(int i=;i<=ss;i++)
     {
         int x=lowbit(i),y=w[x];
         h[i]=h[i^x]+d[chu[y]&i]+d[ru[y]&i];
         f[i]=pw[h[i]];g[i]=;

         for(int j=(i-)&i;j;j=(j-)&i)
         {
             if(j&x) continue;
             g[i]=(g[i]-1LL*g[j]*f[i^j]%Mod)%Mod;
         }
         for(int j=i;j;j=(j-)&i)
         {
             if(j==i) num[i^j]=;
             else
             {
                 x=lowbit(i^j);y=w[x];
                 num[i^j]=num[i^j^x]+d[chu[y]&i];
             }
             f[i]=(f[i]+1LL*g[j]*pw[num[i^j]]%Mod)%Mod;
         }
         g[i]=(g[i]-f[i])%Mod;
     }
     f[ss]=(f[ss]+Mod)%Mod;
     printf("%d\n",f[(<<n)-]);
     return ;
 }

2017-04-19 19:49:29