非空二叉树的一个有趣的性质:n0 = n2 + 1
对任何非空二叉树T,若n0 表示叶结点的个数、n2 表示度为2 的非叶结点的个数,那么两者满足关系n0 = n2 + 1。
这个性质很有意思,下面我们来证明它。
证明:首先,假设该二叉树有N 个节点,那么它会有多少条边呢?答案是N - 1,这是因为除了根节点,其余的每个节点都有且只有一个父节点,那么这N 个节点恰好为树贡献了N - 1 条边。这是从下往上的思考,而从上往下(从树根到叶节点)的思考,容易得到每个节点的度数和 0*n0 + 1*n1 + 2*n2 即为边的个数。
因此,我们有等式 N - 1 = n1 + 2*n2,把N 用n0 + n1 + n2 替换,得到n0 + n1 + n2 - 1 = n1 + 2*n2,于是有
n0 = n2 + 1。命题得证。
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