【编程题目】题目：定义 Fibonacci 数列 输入 n，用最快的方法求该数列的第 n 项。

第 19 题（数组、递归）：
题目：定义 Fibonacci 数列如下：
/ 0 n=0
f(n)= 1 n=1
/ f(n-1)+f(n-2) n=2
输入 n，用最快的方法求该数列的第 n 项。

思路：递归和非递归的 下面的代码有个问题，没有考虑大数越界。返回值应该设成long long型的

递归速度非常慢

/*
第 19 题（数组、递归）：
题目：定义 Fibonacci 数列如下：
/ 0 n=0
f(n)= 1 n=1
/ f(n-1)+f(n-2) n=2
输入 n，用最快的方法求该数列的第 n 项。
start time 13:05
end time 13:16
*/

#include <stdio.h>

//递归
int Fibonacci(int n)
{
    switch(n)
    {
    case :
        return ;
    case :
        return ;
    default:
        return Fibonacci(n - ) + Fibonacci(n - );
    }
}

//非递归
int nonrecursionFibonacci(int n)
{
    int a = , b = ;
    switch(n)
    {
    case :
        return ;
    case :
        return ;
    default:
        {
            for (int i = ; i < n - ; i++)
            {
                int c = a + b;
                a = b;
                b = c;
            }
            return b;
        }
    }
}

int main()
{
    //int f = Fibonacci(10000);
    int ff = nonrecursionFibonacci();
    return ;
}

网上有O(logN)的解法

http://leowzy.iteye.com/blog/787947

这还不是最快的方法。下面介绍一种时间复杂度是O(logn)的方法。在介绍这种方法之前，先介绍一个数学公式：
{f(n), f(n-1), f(n-1),
f(n-2)} ={1, 1, 1,0}n-1
(注：{f(n+1), f(n), f(n),
f(n-1)}表示一个矩阵。在矩阵中第一行第一列是f(n+1)，第一行第二列是f(n)，第二行第一列是f(n)，第二行第二列是f(n-1)。)

有了这个公式，要求得f(n)，我们只需要求得矩阵{1, 1, 1,0}的n-1次方，因为矩阵{1, 1,
1,0}的n-1次方的结果的第一行第一列就是f(n)。这个数学公式用数学归纳法不难证明。感兴趣的朋友不妨自己证明一下。
现在的问题转换为求矩阵{1,
1, 1, 0}的乘方。如果简单第从0开始循环，n次方将需要n次运算，并不比前面的方法要快。但我们可以考虑乘方的如下性质：
         /  
an/2*an/2                       n为偶数时
an=
         \  
a(n-1)/2*a(n-1)/2             n为奇数时

要求得n次方，我们先求得n/2次方，再把n/2的结果平方一下。如果把求n次方的问题看成一个大问题，把求n/2看成一个较小的问题。这种把大问题分解成一个或多个小问题的思路我们称之为分治法。这样求n次方就只需要logn次运算了。

实现这种方式时，首先需要定义一个2×2的矩阵，并且定义好矩阵的乘法以及乘方运算。当这些运算定义好了之后，剩下的事情就变得非常简单。完整的实现代码如下所示。

#include <cassert>
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
// A 2 by 2 matrix
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
struct Matrix2By2
{
       Matrix2By2
       (
            long long m00 = ,
            long long m01 = ,
            long long m10 = ,
            long long m11 =
       )
       :m_00(m00), m_01(m01), m_10(m10), m_11(m11)
       {
       }

      long long m_00;
      long long m_01;
      long long m_10;
      long long m_11;
};

///////////////////////////////////////////////////////////////////////
// Multiply two matrices
// Input: matrix1 - the first matrix
//         matrix2 - the second matrix
//Output: the production of two matrices
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
Matrix2By2 MatrixMultiply
(
      const Matrix2By2& matrix1,
      const Matrix2By2& matrix2
)
{
      return Matrix2By2(
             matrix1.m_00 * matrix2.m_00 + matrix1.m_01 * matrix2.m_10,
             matrix1.m_00 * matrix2.m_01 + matrix1.m_01 * matrix2.m_11,
             matrix1.m_10 * matrix2.m_00 + matrix1.m_11 * matrix2.m_10,
             matrix1.m_10 * matrix2.m_01 + matrix1.m_11 * matrix2.m_11);
}

///////////////////////////////////////////////////////////////////////
// The nth power of matrix
// 1   1
// 1   0
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
Matrix2By2 MatrixPower(unsigned int n)
{
       assert(n > );

       Matrix2By2 matrix;
      if(n == )
       {
             matrix = Matrix2By2(, , , );
       }
      else if(n %  == )
       {
             matrix = MatrixPower(n / );
             matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
       }
      else if(n %  == )
       {
             matrix = MatrixPower((n - ) / );
             matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
             matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2By2(, , , ));
       }

      return matrix;
}

///////////////////////////////////////////////////////////////////////
// Calculate the nth item of Fibonacci Series using devide and conquer
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
long long Fibonacci_Solution3(unsigned int n)
{
      int result[] = {, };
      if(n < )
            return result[n];

       Matrix2By2 PowerNMinus2 = MatrixPower(n - );
      return PowerNMinus2.m_00;
}