dijkstra算法模板及其用法
Dijkstra算法
1.定义概览
Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法,用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法,在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍,如数据结构,图论,运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。
问题描述:在无向图 G=(V,E) 中,假设每条边 E[i] 的长度为 w[i],找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。(单源最短路径)
2.算法描述
1)算法思想:设G=(V,E)是一个带权有向图,把图中顶点集合V分成两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示,初始时S中只有一个源点,以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中,直到全部顶点都加入到S中,算法就结束了),第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示),按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中,总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外,每个顶点对应一个距离,S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度,U中的顶点的距离,是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
2)算法步骤:
a.初始时,S只包含源点,即S={v},v的距离为0。U包含除v外的其他顶点,即:U={其余顶点},若v与U中顶点u有边,则<u,v>正常有权值,若u不是v的出边邻接点,则<u,v>权值为∞。
b.从U中选取一个距离v最小的顶点k,把k,加入S中(该选定的距离就是v到k的最短路径长度)。
c.以k为新考虑的中间点,修改U中各顶点的距离;若从源点v到顶点u的距离(经过顶点k)比原来距离(不经过顶点k)短,则修改顶点u的距离值,修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。
d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。
模板:
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int maxn=; int dist[maxn],g[maxn][maxn],N;
bool vis[maxn]; void dijkstra()
{
for(int i=;i<=N;i++)
dist[i]=(i==)?:INF;
memset(vis,,sizeof(vis)); for(int i=;i<=N;i++)
{
int mark=-,mindis=INF;
for(int j=;j<=N;j++)
{
if(!vis[j]&&dist[j]<mindis)
{
mindis=dist[j];
mark=j;
}
}
vis[mark]=; for(int j=;j<=N;j++)
{
if(!vis[j])
{
dist[j]=min(dist[j],dist[mark]+g[mark][j]);
}
}
}
}
内存优化后的Dijkstra:
int dist[N], point[N], n, m;
bool vis[N]; std::vector<pair<int, int> > g[N];//g[i][j] = <fi, se> 为边(i , fi)的距离se; void dijkstra()
{
for(int i=;i<=n;i++)
dist[i]=(i==)?:INF;
memset(vis,,sizeof(vis)); for(int i=;i<=n;i++)
{
int mark=-,mindis=INF;
for(int j=;j<=n;j++)
{
if(!vis[j]&&dist[j]<mindis)
{
mindis=dist[j];
mark=j;
}
}
vis[mark]=; for(int j=;j<g[mark].size();j++)
{
if(!vis[g[mark][j].fi])
{
dist[g[mark][j].fi]=min(dist[g[mark][j].fi],dist[mark]+g[mark][j].se);
}
}
}
}
堆优化后的Dijkstra:
// 堆优化dijkstra void dijkstra()
{
memset(dist,,sizeof(dist));
dist[S]=;
priority_queue<pII> q; /// -距离,点
q.push(make_pair(,S)); while(!q.empty())
{
pII tp=q.top(); q.pop();
LL u=tp.second;
if(vis[u]==true) continue;
vis[u]=true;
for(LL i=Adj[u];~i;i=edge[i].next)
{
LL v=edge[i].to;
LL len=edge[i].len;
if(vis[v]) continue;
if(dist[v]>dist[u]+len)
{
dist[v]=dist[u]+len;
q.push(make_pair(-dist[v],v));
}
}
}
}
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