dijkstra算法模板及其用法

Dijkstra算法

1.定义概览

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）

2.算法描述

1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2)算法步骤：

a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

模板：

const int INF=0x3f3f3f3f;
const int maxn=;

int dist[maxn],g[maxn][maxn],N;
bool vis[maxn];

void dijkstra()
{
    for(int i=;i<=N;i++)
        dist[i]=(i==)?:INF;
    memset(vis,,sizeof(vis));

    for(int i=;i<=N;i++)
    {
        int mark=-,mindis=INF;
        for(int j=;j<=N;j++)
        {
            if(!vis[j]&&dist[j]<mindis)
            {
                mindis=dist[j];
                mark=j;
            }
        }
        vis[mark]=;

        for(int j=;j<=N;j++)
        {
            if(!vis[j])
            {
                dist[j]=min(dist[j],dist[mark]+g[mark][j]);
            }
        }
    }
}

内存优化后的Dijkstra:

int dist[N], point[N], n, m;
bool vis[N];

std::vector<pair<int, int> > g[N];//g[i][j] = <fi, se> 为边（i , fi）的距离se；

void dijkstra()
{
    for(int i=;i<=n;i++)
        dist[i]=(i==)?:INF;
    memset(vis,,sizeof(vis));

    for(int i=;i<=n;i++)
    {
        int mark=-,mindis=INF;
        for(int j=;j<=n;j++)
        {
            if(!vis[j]&&dist[j]<mindis)
            {
                mindis=dist[j];
                mark=j;
            }
        }
        vis[mark]=;

        for(int j=;j<g[mark].size();j++)
        {
            if(!vis[g[mark][j].fi])
            {
                dist[g[mark][j].fi]=min(dist[g[mark][j].fi],dist[mark]+g[mark][j].se);
            }
        }
    }
}

堆优化后的Dijkstra：

// 堆优化dijkstra

void dijkstra()
{
    memset(dist,,sizeof(dist));
    dist[S]=;
    priority_queue<pII> q; /// -距离,点
    q.push(make_pair(,S));

    while(!q.empty())
    {
        pII tp=q.top(); q.pop();
        LL u=tp.second;
        if(vis[u]==true) continue;
        vis[u]=true;
        for(LL i=Adj[u];~i;i=edge[i].next)
        {
            LL v=edge[i].to;
            LL len=edge[i].len;
            if(vis[v]) continue;
            if(dist[v]>dist[u]+len)
            {
                dist[v]=dist[u]+len;
                q.push(make_pair(-dist[v],v));
            }
        }
    }
}