[CSP-S 2022] 数据传输

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题外话：考场写了个 \(3^3\) 巨大多恶心的分讨倍增写吐了，不仅没调出来还导致没时间仔细考虑 T1 T3 的 bug，感谢这题送我退役。

对于 \(K=1\)，相当于树上路径点权和。

对于 \(K=2\)，不难想到我们最终走过的 \(c\) 都在 \(s_i \to t_i\) 的树上简单路径上。因为若想走两步规避掉我的父亲，那么我拐到父亲的一个儿子，向上走还是只能到我父亲的父亲，还不如一开始就走到我父亲的父亲（\(\operatorname{LCA}\) 处类似）。

对于 \(K=3\)，类似于 \(2\) 的讨论，我们最终的 \(c\) 序列只有可能是原来 \(s_i\to t_i\) 的简单路径中的点或者这些点的邻接点。

那么先预处理 \(a_{x, 0}=v_x, a_{x, 1}=\min_{(x, y)\in T} v_y\)。

设 \(dp_{x, k}\) 为当前处理完 \(s_i \to x\) 部分，现在在距离 \(x\) 为 \(k\) 的某个点上，最小的代价，\(k \in [0, 2]\)，现在转移到 \(dp_{nxt}\)，我们设 \(f\) 为 \(x\) 处的 \(dp\) 值，\(g\) 为 \(nxt\) 处的 \(dp\) 值。

对于 \(K=2\)，有：

\[\begin{cases}
g_0=\min(f_0+a_{nxt, 0}, f_1+a_{nxt, 0})\\
g_1=f_0 \\
g_2=\operatorname{INF}
\end{cases}\]

对于 \(K=3\)，有：

\[\begin{cases}
g_0=\min(f_0+a_{nxt, 0}, f_{1}+a_{nxt, 0}, f_2+a_{nxt, 0})\\
g_{1}=\min(f_0, f_{1}+a_{nxt, 1})\\
g_2=f_1
\end{cases}\]

这些递推是比较 trivial 的，大家都能想到，需要考虑一些琐碎的点：

1. 对于 \(K=2, g_1\) 的转移：根据结论，当前走到点的前一个点必然还是原路径上的点，那么我只能从 \(x\) 走过来。

2. 为什么要考虑 \(k=2\) 的情况，虽然 \(K=3\) 的情况中非原路径点到路径的最短距离只有 \(1\)，但我可能从距离 \(x\) 为 \(2\) 的点走到 \(nxt\)，故要多考虑 \(k=2\)。

3. \(g_2=f_1\) 这一步，如果 \(f_1\) 本身到的点就是 \(nxt\)，不会重吗？若最优路径选择了 \(nxt\)，那么会在 \(g_0\) 被统计到，若没有，\(g_2\) 没有用处，因为我们只会走到邻接点。

发现转移柿子规模很小，考虑矩阵优化。

重新定义矩阵乘法 \(c[i][j]=\min (a_{i, k}+b_{k, j})\)，发现其类似于 Floyed，因此结合律是有的。

不难写出转移矩阵：

\[\left[
\begin{aligned}
f_0 && f_1 && f_2
\end{aligned}
\right]

\times

\left[
\begin{aligned}
a_{nxt, 0} && 0 && \operatorname{INF} \\
a_{nxt, 0} && \operatorname{INF} && \operatorname{INF}\\
\operatorname{INF} && \operatorname{INF} && \operatorname{INF}\\
\end{aligned}
\right]

=

\left[
\begin{aligned}
g_0 && g_1 && g_2
\end{aligned}
\right], (K=2)
\]

\[\left[
\begin{aligned}
f_0 && f_1 && f_2
\end{aligned}
\right]

\times

\left[
\begin{aligned}
a_{nxt, 0} && 0 && \operatorname{INF} \\
a_{nxt, 0} && a_{nxt, 1} && 0\\
a_{nxt, 0} && \operatorname{INF} && \operatorname{INF}\\
\end{aligned}
\right]

=

\left[
\begin{aligned}
g_0 && g_1 && g_2
\end{aligned}
\right], (K=3)
\]

特别的，\(s_i\) 的转移矩阵为：

\[\left[
\begin{aligned}
a_{x, 0} && \operatorname{INF} && \operatorname{INF} \\
\operatorname{INF} && \operatorname{INF} && \operatorname{INF}\\
\operatorname{INF} && \operatorname{INF} && \operatorname{INF}\\
\end{aligned}
\right]
\]

那么直接根据跳的方向（\(s_i \to lca\) 向上，\(lca \to t_i\) 向下） 倍增一下即可，复杂度 \(O(3^3 n \log n)\)，注意空间不要开太大。

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