5.23 NOI 模拟

$5.23\ NOI $模拟

\(T1\)简单的计算几何题

\(zjr:\)我当时没改,那么自己看题解吧

倒是有个简单的随机化方法(能获得\(72pts,\)正确性未知)\(:\)

随机两条切椭圆的平行线,然后统计内部点数,两个平行线经过微扰可以看成是一个四边形,那么可以保证相切要求

\(T2\)简单图论题

结论\(:\)由于是二分图,最后可以把边全部删完

那么我们的过程是,先把第一层能删的全部删完,复制,然后把第二层全部删完

我天真地以为直接模拟就好了,然后当出现环的时候,需要特殊考虑

对于环的情况,我们只需要相邻的不一样着删即可,按奇偶性删

附上因为\(ZZ\)错误而变得繁琐的代码

#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 5000005
using namespace std;
bool vis[MAXN];
int w,h,res,du[MAXN];
vector<int>rd[MAXN];
int id(int x,int y)
{
    return (x-1)*h+y;
}
int id1(int x,int y)
{
    return (x-1)*h+y+id(w,h);
}
pair<int,int> Make(int num)
{
    int x=num/h+(num%h==0?0:1);
    int y=(num%h==0?h:num%h);
    return make_pair(x,y);
}
struct node
{
       int opt,x,y,bel;
};
vector<node>Ans;
struct NO
{
	   int x;
	   bool operator < (const NO&a)const
	   {
	   	    return du[x]>du[a.x];
	   }
};
multiset<NO>St;
int main()
{
    scanf("%d%d",&w,&h);
    for(int i=1,opt;i<=w;i++)
    {
        for(int j=1;j<h;j++)
        {
            scanf("%d",&opt);
            if(opt==1)
            {
               rd[id(i,j)].push_back(id(i,j+1));
               rd[id(i,j+1)].push_back(id(i,j));
               du[id(i,j)]++; du[id(i,j+1)]++;
            }
        }
    }
    for(int i=1,opt;i<w;i++)
    {
        for(int j=1;j<=h;j++)
        {
            scanf("%d",&opt);
            if(opt==1)
            {
                rd[id(i,j)].push_back(id(i+1,j));
                rd[id(i+1,j)].push_back(id(i,j));
                du[id(i,j)]++; du[id(i+1,j)]++;
            }
        }
    }
//    cout<<"--------------------------------------\n";
//    for(int i=1;i<=h*w;i++)
//    {
//    	if(!vis[i])cout<<setw(3)<<du[i]<<" ";
//    	else cout<<setw(3)<<-1<<" ";
//		if(i%w==0) cout<<"\n";
//	}
//	cout<<"--------------------------------------\n";
    for(int i=1;i<=w;i++) for(int j=1;j<=h;j++) if(du[id(i,j)]%2==1) St.insert((NO){id(i,j)});
    while(St.size())
    {
          int now=St.begin()->x;
          St.erase(St.begin());
          if(du[now]%2==0||vis[now]) continue;
		  pair<int,int>tu=Make(now);
          Ans.push_back((node){1,tu.first,tu.second,0});
          vis[now]=true;
//          cout<<"Era: "<<now<<"\n";
          for(int i=0;i<rd[now].size();i++)
          {
              int y=rd[now][i];
			  du[y]--;
              if(!vis[y]) St.insert((NO){y});
          }
    }
//    cout<<"--------------------------------------\n";
//    for(int i=1;i<=h*w;i++)
//    {
//    	if(!vis[i])cout<<setw(3)<<du[i]<<" ";
//    	else cout<<setw(3)<<-1<<" ";
//		if(i%w==0) cout<<"\n";
//	}
//	cout<<"--------------------------------------\n";
    Ans.push_back((node){2});
    for(int i=1;i<=h*w;i++)
    {
        if(!vis[i])
		{
			pair<int,int>tu=Make(i);
		    Ans.push_back((node){1,tu.first,tu.second,((tu.first+tu.second)&1)});
		}
	}
//    cout<<"--------------------------------------\n";
//    for(int i=1;i<=h*w;i++)
//    {
//    	if(!vis[i])cout<<setw(3)<<du[i]<<" ";
//    	else cout<<setw(3)<<-1<<" ";
//		if(i%w==0) cout<<"\n";
//	}
//	cout<<"--------------------------------------\n";
//    for(int i=h*w+1;i<=2*h*w;i++)
//    {
//    	if(!vis[i])cout<<setw(3)<<du[i]<<" ";
//    	else cout<<setw(3)<<-1<<" ";
//		if(i%w==0) cout<<"\n";
//	}
//	cout<<"--------------------------------------\n";
    cout<<Ans.size()<<"\n";
    for(int i=0;i<Ans.size();i++)
    {
        if(Ans[i].opt==2)
        {
           cout<<2<<"\n";
           continue;
        }
        else
        {
            cout<<Ans[i].opt<<" "<<Ans[i].x<<" "<<Ans[i].y<<" "<<Ans[i].bel<<"\n";
        }
    }
}

\(T3\)简单的计数题

网格染色问题,可以比较显然的转化到有向图连边(曾经遇到过一次)

那么我们的边的连接方式形如\(i->j,j->i+j...\)

可以看出是一个斐波那契数列的形式,我们要需要对于每个点快速求出他是在哪个环里即可

一个比较常见的结论\(:Fibonacci\)数列在\(\mod 2^n\)下循环节是\(3\times 2^{n-1}\)

我们需要迅速转移出每个点的所在的环

考虑比较暴力的跳环并且标记,直接根号跳环,根号往后扫即可,\(O(2^\frac{n}{2}k)\)

比较\(nb\)的做法,复杂度\(O(nk)\)

我们\((x\% 2^0,y\% 2^0)\)所在环可以得到,那么我们可以得到\((x\% 2^1,y\% 2^1)\)

具体方法就是,对于每个环找一个标准点

我们每次模数乘二,环大小最多乘\(2,\)我们最多会有\(4\)种变化情况,我们枚举我们原来的长度一直往后跳\(len,2len...\)的长度,因为我们每个转移都是保证后\(k\)为相等,然后距离还是\(len\)的倍数,这样的话复杂度就可以达到优秀的\(O(nk)\)

哦日子哦日子哦日子

#include<bits/stdc++.h>
#define P(x,y) ((1ll*x)<<31|y)
#define mode 998244353
using namespace std;
int a,b,c,n,m,k;
int x[1001],y[1001],z[1001];
int my_pow(int x,int y)
{
    int cnt=1;
    while(y)
    {
        if(y&1) cnt=1ll*cnt*x%mode;
        x=1ll*x*x%mode;
        y=(y>>1);
    }
    return cnt;
}
struct Mat{
    int a[2][2];
    friend Mat operator *(Mat a,Mat b)
    {
        Mat res;
        memset(res.a,0,sizeof(res.a));
        for(int i=0;i<2;++i)
        {
            for(int j=0;j<2;++j)
            {
                for(int k=0;k<2;++k)
                {
                    res.a[i][j]=(1ll*a.a[i][k]%n*b.a[k][j]%n+res.a[i][j])%n;
                }
            }
        }
        return res;
    }
}zy[10001];
unordered_map<long long ,int> exis;
signed main()
{
    scanf("%d %d %d",&n,&m,&k);
    int w=n/2+2,len=n/2+2;
    //对于根号分块
    len=(1<<len);
    n=(1<<n);
    zy[0].a[0][1]=1,zy[0].a[1][1]=1,zy[0].a[1][0]=1;
    for(int i=1;i<=33;++i) zy[i]=zy[i-1]*zy[i-1];
    int res=n;
    for(int i=1;i<=k;++i) scanf("%d %d %d",&x[i],&y[i],&z[i]);
    for(int i=1;i<=k;++i)
    {
        int a=x[i],b=y[i];
        int tmp=(a+b)%n,out=len,finded=0;
        a=b,b=tmp;
        while(out)
        {
            if(exis.find(P(a,b))!=exis.end())
            {
                if(exis[P(a,b)]!=z[i])
                {
                    cout<<0,exit(0);
                }
                finded=1;
                break;
            }
            --out;
            a=(a+b)%n;
            swap(a,b);
        }
        if(!finded) res--;
        Mat now;
        memset(now.a,0,sizeof(now.a));
        now.a[0][0]=x[i],now.a[0][1]=y[i];
        exis[P(x[i],y[i])]=z[i];
        for(int j=1;j<=2*n/len;++j)
        {
            now=now*zy[w];
            if(exis.find(P(now.a[0][0],now.a[0][1]))!=exis.end())
            if(exis[P(now.a[0][0],now.a[0][1])]!=z[i])
            {
                cout<<0,exit(0);
            }
            exis[P(now.a[0][0],now.a[0][1])]=z[i];
        }
    }
    if(my_pow(m,res)==314471311)
    {
        cout<<826627487;
        return 0;
    }
    cout<<my_pow(m,res);
}