组合计数中的q-模拟 q analog

拒绝更新，深度和广度上建议看这个pdf
URL里面用到的一些query-string过期了，，，
论文题目是
THE q-SERIES IN COMBINATORICS;
PERMUTATION STATISTICS
(Preliminary version)
August 17, 2004
Dominique Foata and Guo-Niu Han

目录

• 引言
• 定义
• 例子
  • • 正整数\(n\)
    • 逆序对研究和q-factorial
    • q-binomial
    • q-multinomial
    • q-exponential
• q-模拟的一些性质
  • • q-二项式定理
    • q-Vandermorde定理
    • q-朱世杰恒等式
• 例题
  • • n-排列中的inversion和major index
    • q-binomial应用
    • q-multinomial
    • Catalan数
    • 降位数

引言

在组合计数中q-模拟有什么用？它是研究组合统计量如何分布的工具

维基词条 https://en.wikipedia.org/wiki/Q-analog

网上找到的课件 http://people.qc.cuny.edu/faculty/christopher.hanusa/courses/636fa12/Documents/636fa12ch92c.pdf

q-analog学习资源，推荐！！相当于q-模拟词条 https://www.math.upenn.edu/~peal/polynomials/q-analogues.htm

q-analog词条 https://www.symmetricfunctions.com/q-analogues.htm

定义

一个数\(c\)的q-模拟就是：一个表达式\(f(q)\)，满足\(lim_{q\to1}f(q)=c\)

常见的q-模拟往往是级数的形式，或者级数的四则运算（有时级数退化为多项式）

例子

正整数\(n\)

就是形式级数\(f(q)=1+q+q^2+..+q^{n-1}\)

满足\(lim_{q\to1}f(q)=n\)

记作\([n]_q\)

逆序对研究和q-factorial

\[\sum_{\pi \in S_{n}} q^{\mathrm{inv}(\pi)}=[n]_{q} \cdots[1]_{q}=:[n]_{q} !
\]

\[lim_{q\to1}[n]_q!=|S_n|
\]

q-binomial

\[\left[\begin{array}{l}
n \\
k
\end{array}\right]_{q}=\frac{[n]_{q} !}{[k]_{q} ![n-k]_{q} !}
\]

\[\lim _{q \rightarrow 1}\left[\begin{array}{l}
n \\
k
\end{array}\right]_{q}=\left(\begin{array}{l}
n \\
k
\end{array}\right)
\]

中心对称

\[\left[\begin{array}{l}
n \\
k
\end{array}\right]_{q}=
\left[\begin{array}{l}
\ \ \ n \\
n-k
\end{array}\right]_{q}
\]

q-binomial的Pascal恒等式是

\[\left[\begin{array}{l}
m \\
r
\end{array}\right]_{q}=q^{r}\left[\begin{array}{c}
m-1 \\
r
\end{array}\right]_{q}+\left[\begin{array}{c}
m-1 \\
r-1
\end{array}\right]_{q}
\]

和

\[\left[\begin{array}{c}
m \\
r
\end{array}\right]_{q}=\left[\begin{array}{c}
m-1 \\
r
\end{array}\right]_{q}+q^{m-r}\left[\begin{array}{c}
m-1 \\
r-1
\end{array}\right]_{q}
\]

q-multinomial

\[\left[\begin{array}{l}
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n \\
m_1,m_2,...,m_k
\end{array}\right]_{q}=\frac{[n]_{q} !}{[m_1]_{q} ![m_2]_{q} !...[m_k]_{q} !}
\]

\[\lim _{q \rightarrow 1}\left[\begin{array}{l}
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n \\
m_1,m_2,...,m_k
\end{array}\right]_{q}=\left(\begin{array}{l}
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n \\
m_1,m_2,...,m_k
\end{array}\right)
\]

q-exponential

\[e_{q}^{x}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{[n]_{q} !}
\]

q-模拟的一些性质

下面的等式当\(q\to 1\)时都变成著名的组合恒等式

q-二项式定理

\[\sum_{k=0}^{n} q^{\tbinom{k }{2}}\left[\begin{array}{l}
n \\
k
\end{array}\right]_{q}x^{k}=\prod_{i=0}^{n-1}\left(1+x q^{i}\right)
\]

q-Vandermorde定理

\[\left[\begin{array}{c}
m+n \\
k
\end{array}\right]_q=\sum_{i=0}^{k} q^{(m-i)(k-i)}\left[\begin{array}{c}
m \\
i
\end{array}\right]_q\left[\begin{array}{c}
n \\
k-i
\end{array}\right]_q, \forall m, n \in \mathbb{N}
\]

q-朱世杰恒等式

\[\left[\begin{array}{c}
m+n+1 \\
n+1
\end{array}\right]_q=\sum_{i=0}^{m} q^{i}\left[\begin{array}{c}
n+i \\
n
\end{array}\right]_q, \forall m, n \in \mathbb{N}
\]

例题

n-排列中的inversion和major index

\[\sum_{\pi \in S_{n}} q^{\mathrm{maj}(\pi)}=\sum_{\pi \in S_{n}} q^{\mathrm{inv}(\pi)}=[n]_{q} !
\]

q-binomial应用

有很多，但是看起来都差不多，比如

这里是说把r个不可区分的球投进m个不可区分的垃圾箱里，每个垃圾箱最多容纳n个，(有的垃圾箱可以为空，每个球都在某一个垃圾桶中)。问你方案数。

一种理解是把这个当成有限制的分拆partition：summmands个数最多是m，summands大小最大是n。

q-multinomial

记\(M_\alpha\)是【多重集\(\{m_1个1，m_2个2，...,m_k个k\}\)构成的全排列】组成的集合

\[\sum_{\pi \in M_{\alpha}} q^{\mathrm{maj}(\pi)}=\sum_{\pi \in M_{\alpha}} q^{\mathrm{inv}(\pi)}=\left[\begin{array}{l}
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n \\
m_1,m_2,...,m_k
\end{array}\right]_{q}
\]

Catalan数

记\(W_n\)是那些长度为\(2n\)的01卡特兰序列(从左往右遇到的0总比1多，注意！！这里不要弄反了不然下面等式等不了)的集合

\[\sum_{\pi \in W_{n}} q^{\mathrm{maj}(\pi)}=\frac{1}{[n+1]_q}
\left[\begin{array}{c}
2n \\
n
\end{array}\right]_q
\]

举例，n=2, 0011,0101 maj分别是0，2

\[q^0+q^2=\frac{1}{1+q+q^2}\cdot
\frac{\left(1-q^{4}\right)\left(1-q^{3}\right)}{(1-q)\left(1-q^{2}\right)}
=\frac{1}{1+q+q^2}\cdot
\left(1+q^{2}\right)\left(1+q+q^{2}\right)
=1+q^2
\]

降位数

定义一个排列\(\sigma\)的降位个数\(des(\sigma)=:\sum\limits_{\sigma_i>\sigma_{i+1}}1\)

长度为\(n\)降位个数为\(k-1\)的排列构成的集合为\(A_{n,k}\) 大小 \(a_{n,k}=:|A_{n,k}|\)

Eulerian多项式定义

\[E_n(q)=\sum_{\pi \in S_{n}} q^{1+\mathrm{des}(\pi)}=\sum_{k=1}^{n}{a_{n,k}q^k}
\]

举例，n=3 123,132,213,231,312,321 降位数分别是0，1，1，1，1，2

\[E_3(q)=q^1+4q^2+q^3
\]