P1008 [NOIP1998 普及组] 三连击，置顶题解的问题

题目链接： https://www.luogu.com.cn/problem/P1008

置顶题解

暴力，加简化的判断，数学原理，2个集合内所有数相加相乘结果一样，2个集合的内容一样（没错我自己编得，灵感并不是我自己的，感谢帮我的大大）

置顶的题解中的数学原理应该是存在问题。我尝试证明的整体思路是不断缩写集合中元素值的取值范围，来证明更具体化的命题。题解中集合和数学中的集合不太一致，数学中的集合是不允许出现重复元素的，而题解中则允许，所以下面我将用 set 来表示数学中的集合，用以区分。

set 元素是任意的整数

如果 set 元素是任意的整数，这个命题很容易被证伪。只要两个集合同时包含 0，那么这两个集合的相乘结果必定均为 0。此时，我们只需要考虑这两个集合相加的结果，我们也很容易找到元素个数相同，但元素不全相同的例子，比如，\([0, 2, 2], [0, 0, 4]\)，所以当 set 元素是任意的整数，易证该命题不成立。

set 元素是正整数

这个我是直接使用使用搜索引擎找在知乎找到的答案，这是一个反例，\([1, 8, 12], [2, 3, 16]\)。

set 元素是 1-9 个位数

我一开始觉得这个命题应该是成立的，想用数学归纳法去结果发现证明不了:(，然后觉得置顶题解下面的评论肯定能提供一些线索。果不其然，我这里发现了一个反例，

154 294 794 和 123 456 789 的总和与乘积都一样，然而数字不一样！！

甚至，有更一般化的反例公式，\([m(2m-1), m(2m-1), 1], [(2m-1)^2, m, m]\)，

所以，这个命题又又不成立了。

为什么这个题解可以通过 AC

至于这个题解可以通过 AC，我想应该有两点原因，第一点是满足条件的反例比较少；第二点是由 3 个三位数组成的集合，并不包含所有的组合情况（\(9^9 = 387,420,489 \approx 3.9 \times 10^8\) 种可能），可能 3 个三位数组成的集合的组合中正好未包含这些反例。