Codeforces 319C DP 斜率优化

题意：在一颗森林有n颗数，编号从1到n，第i棵树高度是a[i]。有一个伐木工想要砍伐这片森林，它的电锯每次可以将树的高度减少1，然后就必须要充电，充电的代价是他已经砍倒的树种编号最大的那颗树的代价（b[i]），问他砍完这片森林的最小代价。（a严格单增，b严格单减，a[1] = 1, b[n] = 0，初始电锯充满电）。

思路：因为b[n]恒等于0，所以题目实际上是花费最小的代价砍倒第n棵树，所以我们可以列出dp方程：设dp[i]是砍倒第i棵树并给电锯充满电的最小代价，那么dp[i] = min(dp[j] + (a[i] - 1) * b[j]) + b[i]，这样转移是O(n ^ 2)的，我们考虑优化这个方程。我们把dp方程展开，dp[i] = dp[j] + (a[i] - 1) * b[j] + b[i],移项得：dp[j] = (1 - a[i]) * b[j] + dp[i] - b[i], 我们把它看成一条斜率是(1 - a[i]),截距是dp[i] + b[i]的直线，当截距最小的时候就找到了dp[i]的最小值。我们用单调队列来维护一个下凸壳，维护过程分为3步：1，由于1 - a[i]是单调递减的，所以保证队头的斜率要大于1 - a[i]。2：此时队头就是最优策略。3：将i加入队尾，并维护凸壳。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
const int maxn = 100010;
LL dp[maxn], a[maxn], b[maxn], q[maxn * 2];
bool cmp(int x, int y, int z) {
	return (long double)dp[x] - dp[y] < (long double)(1 - a[z]) * (b[x] - b[y]);
}
bool cmp1(int x, int y, int z) {
	return (long double) (dp[x] - dp[y]) * (b[z] - b[y]) >= (long double)(b[x] - b[y]) * (dp[z] - dp[y]);
}
int main() {
	int n;
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%lld", &a[i]);
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%lld", &b[i]);
	}
	int l = 1, r = 1;
	q[1] = 1;
	dp[1] = b[1];
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		while(l < r && cmp(q[l + 1], q[l], i)) {
			l++;
		}
		dp[i] = dp[q[l]] + b[i] + (a[i] - 1) * b[q[l]];
		while(l < r && cmp1(q[r - 1], q[r], i))
			r--;
		q[++r] = i;
	}
	printf("%lld\n", dp[n]);
}