bzoj5161 最长上升子序列 状压DP(DP 套 DP) + 打表

题目传送门

https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5161

题解

回顾一下以前用二分求 LIS 的方法：令 \(f[i]\) 表示长度为 \(i\) 的 LIS 的最后一位的最小值。可发现不管目前 DP 到了哪儿，这个东西永远是递增的。

---

关于 LIS 的题目的大都可以维护一些和这个东西有关的状态，所以我们考虑状压这个数组。因为这个数组中每一位都不重复，所以可以用 \(01\) 来状压成一个二进制数。

由于我们在转移状态的时候，不关系新来的数到底是几，只关心这个新来的数和之前的数的大小关系，所以我们可以修改之前的 \(f\) 的定义为最后一位是已经 DP 过的数中第几小的数。

这样，新插入一个数的时候，可以枚举它的大小的排名，然后替换掉它后一名的数，并把后面的数全部 \(+1\)，这个可以通过二进制数的移位实现。

最后 \(dp[n][2^n - 1]\) 就是答案。

---

因为在第 \(i\) 位的时候，状态只需要枚举到 \(2^i\)，所以总的复杂度为 \(O(n(2^0 + 2^1 + 2^2 + \cdots)) = O(n2^n)\)。

但是 \(O(n2^n)\) 在 \(n \leq 28\) 面前显得苍白无力。怎么办呢？

\(n = 28\) 的时候 \(28 \times 2^{28}\) 大概是 \(7e9\) 左右，一分钟以内可以跑完。所以，可以花一点出去 orz​ 别的神仙的时间（大概 \(2-3min\)）来打一个表。

然后就可以通过这道题了。

---

正常代码

#include<bits/stdc++.h>

#define fec(i, x, y) (int i = head[x], y = g[i].to; i; i = g[i].ne, y = g[i].to)
#define dbg(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#define File(x) freopen(#x".in", "r", stdin), freopen(#x".out", "w", stdout)
#define fi first
#define se second
#define pb push_back

template<typename A, typename B> inline char smax(A &a, const B &b) {return a < b ? a = b, 1 : 0;}
template<typename A, typename B> inline char smin(A &a, const B &b) {return b < a ? a = b, 1 : 0;}

typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; typedef std::pair<int, int> pii;

template<typename I> inline void read(I &x) {
	int f = 0, c;
	while (!isdigit(c = getchar())) c == '-' ? f = 1 : 0;
	x = c & 15;
	while (isdigit(c = getchar())) x = (x << 1) + (x << 3) + (c & 15);
	f ? x = -x : 0;
}

#define lowbit(x) ((x) & -(x))

const int N = 28 + 7;
const int M = (1 << 27) + 7;
const int P = 998244353;

int n, S;
int dp[2][M], pcnt[M], suf[N];

inline int smod(int x) { return x >= P ? x - P : x; }
inline void sadd(int &x, const int &y) { x += y; x >= P ? x -= P : x; }
inline int fpow(int x, int y) {
	int ans = 1;
	for (; y; y >>= 1, x = (ll)x * x % P) if (y & 1) ans = (ll)ans * x % P;
	return ans;
}

inline void ycl() {
	S = (1 << (n - 1)) - 1;
	for (int s = 1; s <= S; ++s) pcnt[s] = pcnt[s ^ lowbit(s)] + 1;
}

inline void work() {
	ycl();
	int now = 1, pp = 0;
	dp[now][0] = 1;
	for (int i = 1; i < n; ++i) {
		std::swap(now, pp);
		for (int s = 0; s < (1 << i); ++s) dp[now][s] = 0;
		for (int sss = 0; sss < (1 << (i - 1)); ++sss) {
			int pre = 0, s = sss << 1 | 1;
			for (int j = i; j; --j) suf[j] = (s >> (j - 1)) & 1 ? j : suf[j + 1];
			for (int j = 0; j <= i; ++j) {
				if (j) pre += (s >> (j - 1)) & 1;
				int ss, sta, p = suf[j + 1];
				if (p) ss = s ^ (1 << (p - 1));
				sta = (s & ((1 << j) - 1)) | ((ss & ~((1 << j) - 1)) << 1) | (1 << j);
				sadd(dp[now][sta >> 1], dp[pp][sss]);
			}
		}
	}
	int ans = 0;
	for (int i = 0; i <= S; ++i) sadd(ans, (ll)(pcnt[i] + 1) * dp[now][i] % P);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) ans = (ll)ans * fpow(i, P - 2) % P;
	printf("%d\n", ans);
}

inline void init() {
	read(n);
}

int main() {
#ifdef hzhkk
	freopen("hkk.in", "r", stdin);
#endif
	init();
	work();
	fclose(stdin), fclose(stdout);
	return 0;
}

---

打表代码

#include<bits/stdc++.h>

#define fec(i, x, y) (int i = head[x], y = g[i].to; i; i = g[i].ne, y = g[i].to)
#define dbg(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#define File(x) freopen(#x".in", "r", stdin), freopen(#x".out", "w", stdout)
#define fi first
#define se second
#define pb push_back

template<typename A, typename B> inline char smax(A &a, const B &b) {return a < b ? a = b, 1 : 0;}
template<typename A, typename B> inline char smin(A &a, const B &b) {return b < a ? a = b, 1 : 0;}

typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; typedef std::pair<int, int> pii;

template<typename I> inline void read(I &x) {
	int f = 0, c;
	while (!isdigit(c = getchar())) c == '-' ? f = 1 : 0;
	x = c & 15;
	while (isdigit(c = getchar())) x = (x << 1) + (x << 3) + (c & 15);
	f ? x = -x : 0;
}

#define lowbit(x) ((x) & -(x))

const int N = 28 + 7;
const int M = (1 << 27) + 7;
const int P = 998244353;
const int ans[] = {0, 1, 499122178, 2, 915057326, 540715694, 946945688, 422867403, 451091574, 317868537, 200489273, 976705134, 705376344, 662845575, 331522185, 228644314, 262819964, 686801362, 495111839, 947040129, 414835038, 696340671, 749077581, 301075008, 314644758, 102117126, 819818153, 273498600, 267588741};

int n, S;/*
int dp[2][M], pcnt[M], suf[N];

inline int smod(int x) { return x >= P ? x - P : x; }
inline void sadd(int &x, const int &y) { x += y; x >= P ? x -= P : x; }
inline int fpow(int x, int y) {
	int ans = 1;
	for (; y; y >>= 1, x = (ll)x * x % P) if (y & 1) ans = (ll)ans * x % P;
	return ans;
}

inline void ycl() {
	S = (1 << (n - 1)) - 1;
	for (int s = 1; s <= S; ++s) pcnt[s] = pcnt[s ^ lowbit(s)] + 1;
}

inline void work() {
	ycl();
	int now = 1, pp = 0;
	dp[now][0] = 1;
	for (int i = 1; i < n; ++i) {
		std::swap(now, pp);
		for (int s = 0; s < (1 << i); ++s) dp[now][s] = 0;
		for (int sss = 0; sss < (1 << (i - 1)); ++sss) {
			int pre = 0, s = sss << 1 | 1;
			for (int j = i; j; --j) suf[j] = (s >> (j - 1)) & 1 ? j : suf[j + 1];
			for (int j = 0; j <= i; ++j) {
				if (j) pre += (s >> (j - 1)) & 1;
				int ss, sta, p = suf[j + 1];
				if (p) ss = s ^ (1 << (p - 1));
				sta = (s & ((1 << j) - 1)) | ((ss & ~((1 << j) - 1)) << 1) | (1 << j);
//				dbg("i = %d, s = %d, j = %d, sta = %d, now = %d, pre = %d\n", i, s, j, sta, now, pp);
				sadd(dp[now][sta >> 1], dp[pp][sss]);
			}
		}
	}
	int ans = 0;
	for (int i = 0; i <= S; ++i) sadd(ans, (ll)(pcnt[i] + 1) * dp[now][i] % P);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) ans = (ll)ans * fpow(i, P - 2) % P;
	printf("%d\n", ans);
}*/

inline void work() {
	printf("%d\n", ans[n]);
}

inline void init() {
	read(n);
}

int main() {
#ifdef hzhkk
	freopen("hkk.in", "r", stdin);
#endif
	init();
	work();
	fclose(stdin), fclose(stdout);
	return 0;
}