神仙dcx出的一道题

题目大意

\(\;\;\)在一个坐标系上， 以\((0, 0)\)为起点， 每走一步，可以从\((x,y)\)走到\((x+1,y),(x-1,y),(x,y+1),(x,y-1)\)中的一个点上， 问走\(k\)步到达\((a, b)\)的方案数。

题解

我们发现题目中的移动方式很难处理。

考虑到题目中的"走一步"， 可以理解为：在曼哈顿距离的意义下， 移动一个单位长度的距离。
那么改成切比雪夫距离下移动一个单位长度的距离， 就变成了：每一步可以从\((x, y)\)走到\((x+1, y-1), (x-1, y+1), (x-1, y-1), (x+1, y+1)\)

考虑这样一个问题： 在数轴上， 从原点出发， 每次可以向前或向后移动一步， 走\(k\)步走到\(n\)的方案数， 显然答案是\({k \choose (k-n) / 2}\)

于是我们可以对横、纵坐标分别这样算一遍， 然后相乘。

于是我们只用使切比雪夫距离与曼哈顿距离等价就行了， 于是我们可以将原坐标系上的每个点\((x, y)\), 变成\((x + y, x - y)\)， 这样新坐标系的切比雪夫距离与原坐标系的曼哈顿距离就相等了

于是最终答案就是：\({k \choose (k-a-b) \;/\; 2} \times {k \choose (k-a+b) \;/\; 2}\)