二叉苹果树 - 二叉树树型DP

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中文题面：

题目描述

有一棵苹果树，如果树枝有分叉，一定是分 2 叉（就是说没有只有 1 个儿子的结点,这棵树共有N 个结点（叶子点或者树枝分叉点），编号为1-N,树根编号一定是1。

我们用一根树枝两端连接的结点的编号来描述一根树枝的位置。下面是一颗有 4 个树枝的树：

2 5

\ /

3 4

\ /

1

现在这颗树枝条太多了，需要剪枝。但是一些树枝上长有苹果。

给定需要保留的树枝数量，求出最多能留住多少苹果。

输入格式

第1行2个数，N 和Q(1<=Q<= N,1<N<=100)。N 表示树的结点数，Q 表示要保留的树枝数量。

接下来 N-1 行描述树枝的信息。

每行3个整数，前两个是它连接的结点的编号，第3个数是这根树枝上苹果的数量。

每根树枝上的苹果不超过30000个。

输出格式

一个数，最多能留住的苹果的数量。

样例数据 1

输入

5 2

1 3 1

1 4 10

2 3 20

3 5 20

输出

21

题目分析

此题是选课的简化版，因为规定了树是一颗二叉树，dp[i][j]表示以i为根节点的子树选择j条边的最大值，因为是棵树，所以可以将边权转移到点权上，剩下的就与选课一题异曲同工。

若选择当前节点：

1. 此节点是根节点的话，左右儿子一共分担j个。枚举即可。
2. 此节点不是根节点，左右儿子一共分担j-1个。
   
   若不选择当前节点：dp = 0。
   
   取较优值。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 100;
int ecnt, adj[N + 5], go[N * 2 + 5], nxt[N * 2 + 5], val[N + 5], len[N * 2 + 5];
int fa[N + 5], ch[N + 5][2];
typedef long long ll;
ll dp[N + 5][N + 5];
int n, m;

inline void addEdge(int u, int v, int c){
	nxt[++ecnt] = adj[u], adj[u] = ecnt, go[ecnt] = v, len[ecnt] = c;
	nxt[++ecnt] = adj[v], adj[v] = ecnt, go[ecnt] = u, len[ecnt] = c;
}

inline void dfs(int u, int f){
	fa[u] = f;
	int cnt = -1;
	for(int e = adj[u]; e; e = nxt[e]){
		int v = go[e];
		if(v == f) continue;
		ch[u][++cnt] = v;
		val[v] = len[e];
		dfs(v, u);
	}
}

inline ll DP(int u, int k){
	if(u == 0) return dp[u][k] = 0;
	if(dp[u][k] != -1) return dp[u][k];

	dp[u][k] = 0;
	//选择这个
	for(int i = 0; i <= k - 1 + (u == 1 ? 1 : 0); i++){
		DP(ch[u][0], i);
		DP(ch[u][1], k - 1 + (u == 1 ? 1 : 0) - i);
		dp[u][k] = max(dp[u][k], 1LL * val[u] + dp[ch[u][0]][i] + dp[ch[u][1]][k - 1 + (u == 1 ? 1 : 0) - i]);
	}

	return dp[u][k];
}

int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(NULL), cout.tie(NULL);
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1; i < n; i++){
		int x, y, c;
		cin >> x >> y >> c;
		addEdge(x, y, c);
	}
	dfs(1, 0);
//	for(int i = 1; i <= n; i++) cout<<i<<": "<<fa[i]<<" "<<ch[i][0]<<" "<<ch[i][1]<<" "<<val[i]<<endl;
	memset(dp, -1, sizeof dp);
	DP(1, m);
	cout << dp[1][m] << endl;
	return 0;
}