[俺们学校的题]伪.GCD
GCD
题面:
给定整数N,求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对.
思路:
首先两个数gcd(x,y)=p为质数,那么令x=k1*p,y=k2*p,由于是最大公因数,所以有k1k2互质,那么根据每一个p我们可以构造出一些不同的k1k2(k1,k2<=n/p),于是求k1,k2可行组合就变成了求 1~n/p范围之内的互质组数。我们运用欧拉筛同时解决找p和互质组数的问题。
首先解决互质组数的问题。我们设f[i]为1~i中的互质二元组个数。则有递推式:
f[i]=f[i-1]+2*φ(i)
因为1~i-1我们已经计算过了,所以考虑当前的i与1~i之间组成的互质二元组个数。很显然的,个数为φ(i).欧拉筛求解。由于二元组无序,所以*2
在欧拉筛的时候,可以同时求出质数p和φ(i).所以求出答案。
注意在欧拉筛是从2开始,所以初始化f[1]=1;
- #include<iostream>
- #include<cstdio>
- #include<algorithm>
- #include<cmath>
- #include<cstring>
- #include<fstream>
- using namespace std;
- #define ll long long
- ll phi[],prm[],n,cnt,f[];
- bool vis[];
- inline void findphi(){
- phi[]=,prm[]=;
- for (ll i=;i<=n;++i)
- {
- if (!vis[i]) { prm[++cnt]=i, phi[i]=i-; }
- for (ll j=;j<=cnt && i*prm[j]<=n;++j)
- {
- vis[i*prm[j]]=;
- if (i%prm[j]==) { phi[i*prm[j]]=phi[i]*prm[j]; break; }
- if (i%prm[j]!=) phi[i*prm[j]]=phi[i]*(prm[j]-);
- }
- f[i]=f[i-]+*phi[i];
- }
- return;
- }
- int main(){
- cin>>n;
- cnt=;
- f[]=;
- findphi();
- ll ans=;
- for(int i=;i<=cnt;++i){
- ans+=f[n/prm[i]];
- }
- cout<<ans;
- }
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