异或序列 [set优化DP]

也许更好的阅读体验

\(\mathcal{Description}\)

有一个长度为 \(n\)的自然数序列 \(a\)，要求将这个序列分成至少 \(m\) 个连续子段

每个子段的价值为该子段的所有数的按位异或

要使所有子段的价值按位与的结果最大，输出这个最大值

\(T\)组询问

\(T\leq 10,n,m\leq 1000,a_i\leq 2^{30}\)

\(\mathcal{Solution}\)

实际上数据范围可开大很多

我们贪心的一位一位的确定最终答案，即看当前考虑的位能否为\(1\)

记\(s_i\)表示前\(i\)个数的异或和，\(\bigoplus\)表示异或

设当前考虑到了第\(b\)位

令\(res=ans|(1<<b)\)

一段区间\([j+1,i]\)如果是一个合法的区间，可以得到

\(\left(s_i\bigoplus s_j\right)\&res=res\)

于是我们得到了一个\(n^2log\)的\(DP\)方程

\(f_i=max{f_i,f_j+1}\)其中\(\left(s_i\bigoplus s_j\right)=res\)

枚举位是\(log\)的，这样就可以\(AC\)此题了

实际这个\(DP\)可以进一步优化

\(\left(s_i\bigoplus s_j\right)\&res=res\)可以推出

\(\left(s_i \& res\right)\bigoplus \left(s_j\& res\right)=res\)

\(\Rightarrow s_i \& res=\left(s_j\& res\right)\bigoplus res\)

即要将\(s_i\)到\(s_j\)这段作为一个子段必须满足上面的条件

因为题目是至少\(m\)段，所以分的越多越好

则我们可以考虑完\(s_i\)的最优答案后将\(s_i\bigoplus res\)作为第一关键字存进\(set\)

\(f_i=find(s_i\bigoplus res)\)

这样一次转移就是\(log\)的

复杂度为\(nlog^2\)

\(\mathcal{Code}\)

/*******************************
Author:Morning_Glory
LANG:C++
Created Time:2019年10月26日 星期六 09时18分19秒
*******************************/
#include <cstdio>
#include <fstream>
#include <cstring>
#include <set>
#define mp make_pair
using namespace std;
const int maxn = 2003;
//{{{cin
struct IO{
	template<typename T>
	IO & operator>>(T&res){
		res=0;
		bool flag=false;
		char ch;
		while((ch=getchar())>'9'||ch<'0')	flag|=ch=='-';
		while(ch>='0'&&ch<='9')	res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^'0'),ch=getchar();
		if (flag)	res=~res+1;
		return *this;
	}
}cin;
//}}}
int n,m,T,ans;
int a[maxn],s[maxn];
set < pair<int,int> > v;
set < pair<int,int> > :: iterator it,nx;
//{{{solve
void solve (int x)
{
	int res=ans|(1<<x);
	bool flag;
	v.clear();
	for (int i=1;i<=n;++i){
		int val=s[i]&res;
		v.insert(mp(val,0));
		nx=it=v.lower_bound(mp(val,0));
		++nx;
		while (nx!=v.end()&&nx->first==val){
			v.erase(it);
			it=nx,++nx;
		}
		if (it->second==0){
			if (val==res){
				v.insert(mp(val^res,1));
				if (i==n)	flag=it->second+1>=m;
			}
		}
		else{
			v.insert(mp(val^res,(it->second)+1));
			if (i==n)	flag=it->second+1>=m;
		}
	}
	if (flag)	ans=res;
}
//}}}
int main()
{
	cin>>T;
	while (T--){
		cin>>n>>m;
		ans=0;
		for (int i=1;i<=n;++i){
			cin>>a[i];
			s[i]=s[i-1]^a[i];
		}

		for (int i=29;~i;--i)	solve(i);
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}

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