EM算法直观认识

Expectation Maximization, 字面翻译为, "最大期望".

我个人其实一直都不太理解EM算法, 从我个人的渊源来看, 之前数理统计里面的参数估计, 也是没有太理解. 但困难总是要面对, 必须啃下它, 因其真的不太直观, 所以先举个经典的栗子.

栗子-硬币正面概率

理想我是上帝

假设咱有两个硬币, 分别为 coin A 和 coin B

同样假设我们上帝, 知道做实验是用的哪个硬币 的情况下, 扔的结果如下: (H 表正面, T表反面)

B: H T T T H H T H T H
A: H H H H T H H H H H
A: H T H H H H H T H H
B: H T H T T T H H T T
A: T H H H T H H H T H

用 Maximum likelihood (极大似然), 这里就是用样本去估计总体呀, 对应结果如下:

知道是哪个币	coin A	coin B
B		5正, 5反
A	9正, 1反
A	8正, 2反
B		4正, 6反
A	7正, 3反

站在上帝视角, 已经知道每次实验是使用谁(硬币A, B), 因此很容易统计得到:

$\hat \theta_A = \frac {9+8+7}{24 + 6} = \frac {24}{30} = 0.8$

同样易知:

$\hat \theta_B = \frac {5 + 4 }{9+11} = \frac {9}{20} =0.45 $

此刻就可以发现, coin A 有问题, 正面朝上的概率竟达到 0.8, 这不可能.

现实我是凡人

还是刚刚那个扔硬币的结果, 没有上帝视角,不知道是用的哪个硬币

? : H T T T H H T H T H
? : H H H H T H H H H H
? : H T H H H H H T H H
? : H T H T T T H H T T
? : T H H H T H H H T H

这时候要计算硬币 A, B 的正面朝上的概率, 即引出了 EM算法.

假设1: 不同硬币,对于每一个结果是 H 或 T 也是有一个概率, so, 先假设 A, B 正面朝上概率:

$\hat \theta_A^{(0)} = 0.6$

$\hat \theta^{(0)}_B = 0.5$

假设2: 对于每次试验的结果, 是来自不同硬币也有一个概率, (和要为1的哦) $Q_i(z = A) = 0.6, \ Q_i(z = B) = 0.4$

于是就可得到试验结果 (E-step):

(0.45A, 0.55B) : H T T T H H T H T H
(0.80A, 0.20B) : H H H H T H H H H H
(0.73A, 0.27B) : H T H H H H H T H H
(0.35B, 0.65B) : H T H T T T H H T T
(0.65A, 0.35B) : T H H H T H H H T H

预估是A,B的概率下	coin A	coin B
5正5反 => A: (5 * 0.45, 5 * 0.45); B: (5 * 0.55, 5 * 0.55)	2.2正; 2.2反	2.8正; 2.8反
9正1反 => A: (9 * 0.80, 1 * 0.80); B: (9 * 0.20, 1 * 0.20)	7.2正; 0.8反	1.8正, 0.2反
8正2反 => A: (8 * 0.73, 2 * 0.73); B: (8 * 0.27, 2 * 0.27)	5.9正; 1.5反	2.1正; 0.5反
4正6反 => A: (4 * 0.35, 6 * 0.35); B: (4 * 0.65, 6 * 0.65)	1.4正; 2.1反	2.6正; 3.9反
7正3反 => A: (7 * 0.65, 3 * 0.65); B: (7 * 0.35, 3 * 0.35)	4.5正; 1.9反	2.5正; 1.1反
合计	21.3正; 8.6反	11.7正; 8.4反

此时, 则是相当于更新了一次估计值:

$\hat \theta_A ^{(1)}= \frac {21.3}{21.3 + 8.6} = 0.71$

同理,

$\hat \theta_B ^{(1)}= \frac {11.7}{11.7 + 8.4} = 0.58$

这样, 其实又影响了 E-step:

(0.45A, 0.55B) -> maybe (0.48A, 0.52B)
(0.80A, 0.20B) -> maybe (0.71A, 0.29B)
(0.73A, 0.27B) -> maybe (0.68A, 0.32B)
(0.35B, 0.65B) -> maybe (0.42A, 0.58B)
(0.65A, 0.35B) -> maybe (0.73A, 0.27B)

这样, 其实也影响了每次的结果, 从而又更新了估计参数, 然后就一直循环, 直到收敛退出.....,

假设是第20次, 收敛啦, 得到A, B 正面朝上的最终预测概率:

$\hat \theta_B ^{(20)}= 0.82$

$\hat \theta_B ^{(20)}= 048$

为啥一定收敛, 本文后面会证明一波的, 老铁们, 先稳住

发现: 这样得到的结果, 跟上帝视角, 是差不多的, EM近似模拟出了真实参数, 一个字, 稳!

其实也发现了, EM所完成的核心任务, 就是跟咱大一的统计学里面学的, 根据样本分布, 来估计总体的分布参数.用处其实还是很大的, 在市场研究领域, 比如估计两种产品的分布...

EM 核心步骤

E-step: Compute a distribution on the labels of the points, using current parameters.
M-step: Update parameters using current guess of label distribution.

其实都不用翻译, 字面意思, 一看就懂了,对吧, 结合前面扔硬币的栗子. 好吧...嗯, 还是再举个统计的栗子吧.

case1-高斯分布参数

假设有一堆观测点, 假设已经知道, 有A, B两个类别, 分别为不同的高斯分布 , 对应每个点, 属于分别两个不同的高斯分布的概率是怎样的?

E-step: 确定(初始化) 每个点, 分别属于 A, B 这两个高斯分布的概率分别是多少 (一一对应的哦)

M-step: 在 E-step 已经算出每个点的属于哪个分布的概率下, 更新一次估计参数的值.

这样其实, 参数值的改变, 也同时影响了 E-step .....

参考上面扔硬币的栗子

反复这样的 E->M->E->M... 直到收敛

case2-类梯度上升的方式

上升, 下降都一样哈, 只是求解有些像而已, 不影响.

回归在大二学的数理统计时, 在知道样本观测数据的前提下, 要求总体的参数分布 参数估计, 通常的方法就是极大似然法.

贝斯理论 vs 古典概率派: 贝派认为, 总体的参数,不是一个固定值, 是满足某种概率模型分布的随机变量.

通常是, 构造一个似然函数, 假设是 $L(\theta) = log \ P(x: \theta)$ , 当然, 似然函数不一定是凸函数

凸函数(convex): 最大的优点是, 有一个全局最优解

log: 是在求解的时候, 方便乘法变加法, 不想再解释了, 再重复我自己都要吐了

假设呢, 则不同的状态 t 下, 估计出来的参数分别为:

$\theta ^{(t)}, \theta ^{(t+1)}, \theta ^{(t+2)}, \theta ^{(t+3)},\theta ^{(t+n)} ...$

对于每个状态呢, 同时构造一个convex 函数, 假设是 $g(\theta)$, 希望在 $L(\theta) 在 \theta ^{(t)}$ 这个点的极小值和 $g(\theta)$ 在这个点的极大值是 重合的. 在这个前提下, 可以求关于 $g(\theta)$ 的最优化.

.... 重复这个过程即可, 最后收敛, 跟梯度上升其实差不多的思想.

如上就是EM算法的直观认识了, 下篇就正式推导一波~