CF438E The Child and Binary Tree 生成函数、多项式开根
设生成函数\(C(x) = \sum\limits_{i=0}^\infty [\exists c_j = i]x^i\),答案数组为\(f_1 , f_2 , ..., f_m\),\(F(x) = \sum\limits_{i=1}^m f_ix^i + 1\)
注意到选出一棵合法的二叉树,只需要选择一个合法的权值作为根的权值,选择一棵合法的二叉树(可以为空)作为根的左儿子,选择一棵合法的二叉树(可以为空)作为根的右儿子即可。那么有\(F(x) - 1 = F(x) * F(x) * C(x)\),左边\(-1\)的原因是选出来的二叉树不可能权值和为\(0\)。
化简得到\(C(x)F^2(x) - F(x) + 1 = 0\),由初中知识得到\(F(x) = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4C(x)}}{2C(x)} = \frac{2}{1 \mp \sqrt{1 - 4C(x)}}\)
注意\([x^0]C(x) = 0\),所以\(C(x)\)不存在逆,所以必须上下同乘\(1 \mp \sqrt{1 - 4C(x)}\)把\(C(x)\)约掉。
但是现在仍然有\(2\)个答案。注意到,\([x^0](1 - \sqrt{1 - 4C(x)})=0\)不存在逆,而\(1 + \sqrt{1 - 4C(x)}\)存在逆,所以\(F(x) = \frac{2}{1 + \sqrt{1 - 4C(x)}}\)
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<bitset>
#include<stack>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<random>
#include<cassert>
//This code is written by Itst
using namespace std;
const int mod = 998244353;
inline int read(bool flg = 0){
int a = 0;
char c = getchar();
bool f = 0;
while(!isdigit(c) && c != EOF){
if(c == '-')
f = 1;
c = getchar();
}
if(c == EOF)
exit(0);
while(isdigit(c)){
if(flg)
a = (a * 10ll + c - 48) % mod;
else
a = a * 10 + c - 48;
c = getchar();
}
if(flg) a += mod;
return f ? -a : a;
}
const int MAXN = (1 << 19) + 7 , MOD = 998244353;
#define PII pair < int , int >
#define st first
#define nd second
PII mul(PII a , PII b , int val){
return PII((1ll * a.st * b.st + 1ll * a.nd * b.nd % MOD * val) % MOD , (1ll * a.st * b.nd + 1ll * a.nd * b.st) % MOD);
}
int poww(PII a , int b , int val){
PII cur = PII(1 , 0);
while(b){
if(b & 1) cur = mul(cur , a , val);
a = mul(a , a , val);
b >>= 1;
}
return cur.st;
}
inline int poww(long long a , int b){
int times = 1;
while(b){
if(b & 1)
times = times * a % MOD;
a = a * a % MOD;
b >>= 1;
}
return times;
}
int calc_Surplus(int x){
mt19937 rnd(time(0));
int a = rnd() % MOD;
while(poww((1ll * a * a - x + MOD) % MOD , (MOD - 1) / 2) != MOD - 1)
a = rnd() % MOD;
return poww(PII(a , 1) , (MOD + 1) / 2 , (1ll * a * a - x + MOD) % MOD);
}
namespace poly{
const int G = 3 , INV = (MOD + 1) / G;
int A[MAXN] , B[MAXN] , C[MAXN] , D[MAXN] , E[MAXN];
int a[MAXN] , b[MAXN] , c[MAXN] , d[MAXN];
int need , inv , dir[MAXN] , _inv[MAXN];
#define clear(x) memset(x , 0 , sizeof(int) * need)
void init(int len){
need = 1;
while(need < len)
need <<= 1;
inv = poww(need , MOD - 2);
for(int i = 1 ; i < need ; ++i)
dir[i] = (dir[i >> 1] >> 1) | (i & 1 ? need >> 1 : 0);
}
void init_inv(){
_inv[1] = 1;
for(int i = 2 ; i < MAXN ; ++i)
_inv[i] = MOD - 1ll * (MOD / i) * _inv[MOD % i] % MOD;
}
void NTT(int *arr , int type){
for(int i = 1 ; i < need ; ++i)
if(i < dir[i])
arr[i] ^= arr[dir[i]] ^= arr[i] ^= arr[dir[i]];
for(int i = 1 ; i < need ; i <<= 1){
int wn = poww(type == 1 ? G : INV , (MOD - 1) / i / 2);
for(int j = 0 ; j < need ; j += i << 1){
long long w = 1;
for(int k = 0 ; k < i ; ++k , w = w * wn % MOD){
int x = arr[j + k] , y = arr[i + j + k] * w % MOD;
arr[j + k] = x + y >= MOD ? x + y - MOD : x + y;
arr[i + j + k] = x < y ? x + MOD - y : x - y;
}
}
}
}
void mul(int *a , int *b){
NTT(a , 1);NTT(b , 1);
for(int i = 0 ; i < need ; ++i)
a[i] = 1ll * a[i] * b[i] % MOD;
NTT(a , -1);
}
void getInv(int *a , int *b , int len){
if(len == 1){
b[0] = poww(a[0] , MOD - 2);
return;
}
getInv(a , b , (len + 1) >> 1);
memcpy(A , a , sizeof(int) * len);
memcpy(B , b , sizeof(int) * len);
init(len * 3);
NTT(A , 1);NTT(B , 1);
for(int i = 0 ; i < need ; ++i)
A[i] = 1ll * A[i] * B[i] % MOD * B[i] % MOD;
NTT(A , -1);
for(int i = 0 ; i < len ; ++i)
b[i] = (2 * b[i] - 1ll * A[i] * inv % MOD + MOD) % MOD;
clear(A);clear(B);
}
void getSqrt(int *a , int *b , int len){
if(len == 1){
b[0] = calc_Surplus(a[0]);
if(MOD - b[0] < b[0]) b[0] = MOD - b[0];
return;
}
getSqrt(a , b , (len + 1) >> 1);
getInv(b , C , len);
memcpy(A , a , sizeof(int) * len);
init(len * 2);
mul(A , C);
for(int i = 0 ; i < len ; ++i)
b[i] = _inv[2] * (b[i] + 1ll * A[i] * inv % MOD) % MOD;
clear(A);clear(C);
}
}
using namespace poly;
int F[MAXN] , N , M;
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("in","r",stdin);
//freopen("out","w",stdout);
#endif
init_inv();
N = read() , M = read();
for(int i = 1 ; i <= N ; ++i)
F[read()] = MOD - 4;
F[0] = 1;
getSqrt(F , a , M + 1);
++a[0];
getInv(a , b , M + 1);
for(int i = 1 ; i <= M ; ++i)
printf("%d\n" , b[i] * 2 % MOD);
return 0;
}
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