嵌套矩形——DAG上的动态规划

有向无环图（DAG,Directed Acyclic Graph）上的动态规划是学习动态规划的基础。非常多问题都能够转化为DAG上的最长路、最短路或路径计数问题。

题目描写叙述：

有n个矩形，每一个矩形能够用两个整数a,b描写叙述，表示它的长和宽。矩形X(a,b)能够嵌套在矩形Y(c,d)中当且仅当a<c,b<d,或者b<c,a<d(相当于把矩形X旋转90°)。比如(1,5)能够嵌套在(6,2)内，但不能嵌套在(3,4)内。你的任务是选出尽可能多的矩形排成一行。使得除了最后一个之外。每一个矩形都能够嵌套在下一个矩形内。

分析：

矩形之间的"可嵌套"关系是一个典型的二元关系，二元关系能够用图来建模。

假设矩形X能够嵌套在矩形Y里。我们就从X到Y连一条有向边。这个有向图是无环的，由于一个矩形无法直接或间接地嵌套在自己的内部。

换句话说，它是一个DAG。这样，我们的任务便是求DAG上的最长路径。

方法一：

#include "stdio.h"
#include "string.h"
#define maxn 1000+10 

typedef struct {		//矩形的数据结构，长、宽
	int length;
	int width;
}rectangle;

int G[maxn][maxn]; 		//DAG图的矩阵表示
int d[maxn],n;			//d[i]顶点i的最长路径
rectangle rec[maxn];

//打印出图的邻接矩阵，目的是确保建图正确无误
void print_Graph()
{
	printf("|矩 形|");
	for(int i=0;i<n;i++)
		printf("%2d,%2d|",rec[i].length,rec[i].width);
	printf("\n");

	for(int i=0;i<n;i++){
		for(int k=0;k<=n;k++)
			printf("------");
		printf("\n");

		printf("|%2d,%2d|",rec[i].length,rec[i].width);
		for(int j=0;j<n;j++){
			printf("  %d  |",G[i][j]);
		}printf("\n");

	}
}

//构造图
void createGraph()
{
	memset(G,0,sizeof(G));
	for(int i=0;i<n;i++){
		for(int j=0;j<n;j++){
			if(rec[i].length>rec[j].length && rec[i].width>rec[j].width){
				G[i][j]=1; 	//rec[i] 包括 rec[j]
			}
		}
	}

//	print_Graph();
}

//记忆化搜索程序
int dp(int i)
{
	int& ans=d[i];	//为该表项声明一个引用，简化对它的读写操作。
	if(ans>0) return ans;
	ans=1;
	for(int j=0;j<n;j++){
		if(G[i][j]){
			int tmp=dp(j);
			ans=ans>tmp+1?ans:tmp+1;
		}
	}
	return ans;
}

int main()
{
	int N;
	scanf("%d",&N);
	while(N-->0)
	{
		int ans=0;
		scanf("%d",&n);
		for(int i=0;i<n;i++){
			int tmp1,tmp2;
			scanf("%d%d",&tmp1,&tmp2);
			rec[i].length=tmp1>tmp2?tmp1:tmp2;
			rec[i].width=tmp1<tmp2?

tmp1:tmp2;
		}
		createGraph();

		//初始化记忆数组
		memset(d,0,sizeof(d));
		for(int i=0;i<n;i++){
			int tmp=dp(i);
			ans=ans>tmp?

ans:tmp;
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
} 

题目来源NYOJ：http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=16

方法二：能够点我！