Codeforces Round 960 (Div.2)

A

非常容易观察到性质，注意 Alice 为先手，发现当 \(a_{\max}\) 的个数为奇数时显然能 win，但如果 \(a_{\max}\) 的个数为偶数且有一个数具有奇数个可以作为跳板，那么也能 win，否则就 lose。

B

结论：\(presum_x \geq 2 + presum_{y - 1} \geq 2 + \min{presum_i} \geq 1 + \max{presum_i}\)，后缀和同理。

C

模拟一下容易发现每次操作后整个数组都会向后移动。

我们首先对数组进行一次操作模拟，发现整个数组就变成单调不降的了。

之后我们开始观察，对于一个连续的序列 \(a[l, r] = x (l \lt r, x \gt 0)\)，在一次运算之后，得到一个新的限制 \(a[l + 1, \min{(r + 1, n)}] = x\) 成立，然后再给结论：如果数组中所有非零连续段（出去最后一段）的长度都大于 \(1\)，那么数组就遵循一个 “右移” 定律。

对于 “右移” 数组，不难得到 \(b_i \lt b_{i + 1} \lt b_{i + 2}\)，可以推断出 \(b_i = a_i, b_{i + 1} = a_{i + 1}\)，并且至少有 \(a_j = a_{i + 1}(j \leq i)\) 成立，这也就说明 \(a\) 并不是非单调递减的，也就是说经过 \(2\) 次运算总能得到一个 “右移” 数组。

D

考虑贪心，对于 \(a_i\) 足够大的情况，我们一定会在 \(i\)-th 行上使用操作 \(2\)，具体的 \(i\) 是多少呢？

对于 \(a_i \geq 5\) 的情况直接使用操作 \(2\) 即可，因为至少需要 \(3\) 个 \(2 \times 2\) 的网格来覆盖，而在 \(i - 1, i, i + 1\) 行进行三次 \(2\) 操作带来的收益显然更大。

然后讨论一下 \(a_i \lt 5\) 的情况，考虑从左到右：

• 没有黑色格子
• 有 \(\leq 2\) 个黑色格子，放入一个 \(2 \times 2\) 的子网格
• 有 \(\gt 2\) 个黑色格子，直接进行一次 \(2\) 操作即可

总结一下，对于 \(i\)-th 行，对于当前行来说 \(i - 1\)-th 的影响只有：

• 不受影响
• 第 \(3\) 列和第 \(4\) 列的单元格被涂成白色
• 第 \(1\) 列和第 \(2\) 列的单元格被涂成白色

E

交互题。

当我们查询子树的时候，如果返回 \(0\)，那么删除整棵子树。注意到我们可以查询任意叶子节点，那么如果返回了 \(1\) 就直接跳出，否则鼹鼠就要往父节点跑，再考虑如果查询子树时返回了 \(1\)，那么就再查询将其驱逐出当前的子树跳往父亲。

朴素的做法处理起来太麻烦，而且 Easy & Hard 还需要做优化，官方的题解给的做法太麻烦了，给一个更优的解法：

查询任意的叶子节点 \(70\) 次（均摊），然后删除 \(dep_{\max} - dep_v + 1 \leq 70\)，那么树就被拆分成了 \(\leq 70\) 条链，check 一遍跑过去就可以了，这样跑得飞快。

F

无端联想 % 你赛的最大 \(C_{\triangle}\)，主席树挂大分……

非常明显需要使用线段树维护，明确我们需要做什么.

注意到对于一份 “局部” 的最大多边形线段 \([l, r]\) 必须满足 \(\min{a_{l - 1}, a_{r + 1}} \geq 2 \cdot (a_l + \dots + a_r)\)，当然包括 \(l = 1, r = n\) 的情况。

当且仅当 \(\sum_{i = 1}^{r} a_i \leq 2 \cdot a_i\) 时，定义区间 \([l, r]\) 的后缀 \([i, r]\) 为 special，同样的前缀也定义为 special。

观察性质，最多有 \(O(\log{(\max a)})\) 个 special 后缀，因为从定义中不难得到一个 special 之和至少是前一个 special 之和的 \(2\) 倍，因此我们可以合并左边区间的 special 后缀和右边区间的 special 前缀，这部分可以使用 two-pointers 来完成，然后就可以获取到一个跨越区间的答案了。