2024/10/3 CSP-S模拟赛20241003

A

恶心恶心恶心，赛时写了一个二分+线段树的复杂度错了，当时yzh和lyz就一会骗我一会说实话的，搞得很懵，自己水平也是菜，那线段树分析复杂度怎么不把递归次数乘上呢？大傻逼grz

思路其实还挺好的。

你考虑很容易就发现一个性质，如果一个区间内存在两个数互质的话，这个区间的\(gcd\)肯定是\(1\)。



那么剩下的就是先做一个线段树取快速维护区间\(gcd\)的值，然后考虑双指针\(O(nlog_n^2)\)去计算所有区间得到的值，判断区间\(gcd\)答案是不是\(1\)，如果是的话，那么他的贡献其实就是\(n-j+1\)，因为对于这个区间的右侧你可以无线扩展，直到\(n\)为止，那么这些区间的\(gcd\)值其实都是\(1\)。

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B

good题。

你考虑，可以把题目转换一下，枚举每个节点的覆盖范围，那么显然，对于这个答案，肯定是具有单调性的，直接用二分枚举每个点覆盖范围。

首先我们钦定一个点\(x\)为当前点子树内离他距离最远的节点，如图：

如图，节点\(x\)就是这个节点。

那么你考虑，根据贪心的策略，我们假设当前二分到的长度为\(mid\)，那么要想要这个最后的"不满意度"最大，就需要找一个深度刚好是\(dep_x-mid\)位置的节点，为什么呢？如果选择的是\(dep_x-mid\)位置往上的节点，就无法覆盖到当前这个\(x\)节点，就需要用另外一个节点，如果在\(dep_x-mid\)位置往下的节点，就少覆盖了一些节点，就浪费了，以上便是贪心策略。

那么其实很显然，对于每一个枚举到的测量范围，我们要考虑树形\(dp\)去求这个值，那么接下来我们钦定两个\(dp\)数组：

设\(f_x\)表示以\(x\)为根节点到无法根据这个范围覆盖到最远的点的距离。

设\(g_x\)表示以\(x\)为根节点能覆盖最近的点的距离。

显然转移很好做的呀：

\[\begin{cases} f_{x}=\max\limits_{y \in son(x)}\{ f_{y}+1 \} \\ g_{x}=\min\limits_{y \in son(x)}\{ g_{y}+1 \}\end{cases}

\]

那么，记得初始化:\(f_x = -inf,g_x = inf\)

显然这样是不可以的，你要遵循贪心策略去求这个东西。 那么对于当前枚举到的范围，当 \(g_{x}\le mid\) 时以 \(x\) 为根的子树内所选的点覆盖不到自己，需要祖先节点进行覆盖，此时需要统计自己的贡献，即 \(f_{x}=\max(f_{x},0)\)；当 \(f_{x}+g_{x} \le mid\) 时以 \(x\) 为根的子树内所选的点就能覆盖整棵子树，令 \(f_{x}=- \infty\)；当 \(f_{x}=mid\) 说明 \(x\) 必须被选，令 \(f_{x}=- \infty,g_{x}=0\)，选择点数加一。

特判下根节点没有被覆盖的情况。

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