CF1928C Physical Education Lesson 题解

CF1928C Physical Education Lesson

我们发现，每 \(2k-2\) 个数构成了一个周期。其中，前 \(k\) 个数为前周期，后 \(k-2\) 个数为后周期。我们对于 \(x\) 所处的周期进行分类讨论。

当 \(x\) 在前周期时，它是周期中的第 \(x\) 个元素。将总数 \(n\) 减去 \(x\)，剩下的数一定是由若干个完整的周期组成。枚举它的约数，我们可以用这个约数解出 \(k\) 的值。只有 \(k\) 为整数且 \(k\ge n\)，才能算作一个解，因为前周期最大的数是 \(k\)。

当 \(x\) 在后周期时，它是周期中的第 \(2k-2-x+2\) 个元素。将总数 \(n\) 减去 \(2k-2-x+2\)，剩下的数 \((n+x-2)-(2k-2)\) 一定是由若干个完整的周期组成。我们发现，减去的 \(2k-2\) 正好是我们要枚举的约数，并不影响 \((n+x-2)\) 对 \(2k-2\) 的整除性。所以我们直接枚举 \((n+x-2)\) 的约数，我们可以用这个约数解出 \(k\) 的值。只有 \(k\) 为整数且 \(k\gt n\)，才能算作一个解，因为后周期最大的数是 \(k-1\)。

注意 \(x\) 在后周期时，\(x\ne1\)，因为我们发现后周期没有 \(1\)。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long t,x,n;
int main()
{
	scanf("%lld",&t);
	while(t--)
	   {
	   	long long ans=0,now=0;
	   	scanf("%lld%lld",&x,&n);
	   	now=x-n;
	   	for(long long i=1;i*i<=now;i++)
	   	    if(now%i==0)
		   	    {
		   	    	if(i%2==0&&(i+2)/2>=n)ans++;
		   	    	if((now/i)!=i&&(now/i)%2==0&&((now/i)+2)/2>=n)ans++;
				}
		now=x+n-2;
		if(n!=1)
		   for(long long i=1;i*i<=now;i++)
		   	    if(now%i==0)
			   	    {
			   	    	if(i%2==0&&(i+2)/2>n)ans++;
			   	    	if((now/i)!=i&&(now/i)%2==0&&((now/i)+2)/2>n)ans++;
					}
		printf("%lld\n",ans);
	   }
	return 0;
}