题目大意:给定一个 N 个点,M 条边的有向图,现有 Q 个询问,每次询问 X 到 Y 的最小密度路径是多少。最小密度路径的定义是路径长度除以路径边数。

题解:利用矩阵乘法,可以预处理出从 X 到 Y 恰好经过 K 条边的最短路是多少。对于每次询问,直接处理处理即可,时间复杂度为 \(O(n^4)\)。

注意:恰好经过 K 条边的最短路不能将 G[i][i] 初始化成 0,因为边数有实际意义,若这样初始化意味着有自环出现。至少经过 K 条边的同理,也不能这样初始化。

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=55;
const int inf=0x3f3f3f3f; int n,m,q;
struct mat{
int d[maxn][maxn];
mat(){memset(d,0x3f,sizeof(d));}
int *operator[](int i){return d[i];}
friend mat operator*(mat &x,mat &y){
mat z;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
for(int k=1;k<=n;k++)
z[i][j]=min(z[i][j],x[i][k]+y[k][j]);
return z;
}
}d[maxn]; void read_and_parse(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;i++){
int x,y,z;scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
d[1][x][y]=min(d[1][x][y],z);
}
}
void solve(){
for(int i=2;i<=n;i++)d[i]=d[i-1]*d[1];
scanf("%d",&q);
while(q--){
int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);
bool flag=0;double ans=1e18;
for(int i=n;i;i--){
if(d[i][x][y]!=inf){
flag=1;
ans=min(ans,(double)d[i][x][y]/(double)i);
}
}
if(flag)printf("%.3lf\n",ans);
else puts("OMG!");
}
}
int main(){
read_and_parse();
solve();
return 0;
}

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