[CSP-S模拟测试]:小P的生成树（数学+Kruskal）

题目描述

　　小$P$是个勤于思考的好孩子，自从学习了最大生成树后，他就一直在想：能否将边权范围从实数推广到复数呢？可是马上小$P$就发现了问题，复数之间的大小关系并没有定义。于是对于任意两个复数$z_1,z_2$，小$P$定义$z_1<z_2$当且仅当$|z_1|<|z_2|$。
　　现在，给出一张$n$个点$m$条边的简单无向带权图，小$P$想问你，如果按照他对复数大小的定义，这个图的最大生成树是什么？

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输入格式

　　输入的第一行为两个正整数$n$和$m$，分别表示这个无向图的点数和边数。
　　接下来$m$行，每行四个整数$u,v,a,b(1\leqslant u,v\leqslant n,-1000\leqslant a,b\leqslant 1000)$，表示点$u$与点$v$之间有一条无向边，边权为$a+bi$。

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输出格式

　　输出仅有一个实数，它等于所有的最大生成树中所有边权之和的模长。
　　实数四舍五入，保留六位小数。

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样例

样例输入1：

3 3
1 2 1 3
2 3 2 2
3 1 3 1

样例输出1：

5.830952

样例输入2：

6 9
1 2 4 -1
2 3 4 1
3 4 -1 -5
1 5 -4 0
4 6 1 -6
2 6 -6 0
5 6 -7 5
2 4 7 1
1 4 -9 -5

样例输出2：

27.459060

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数据范围与提示

样例$1$解释：

显然，从该图三条边中任取两条便可以构成一棵生成树，这三棵生成树的边权之和分别为$z_1=3+5i,z_2=4+4i,z_3=5+3i$，其中$|z_2|=\sqrt{32}<|z_1|=|z_3|=\sqrt{34}$。

数据范围：

对于$10\%$的数据：$n\leqslant 6$
对于$30\%$的数据：$n\leqslant 12$
对于另外$20\%$的数据：每条边的边权均为实数
对于$100\%$的数据：$n\leqslant 50,m\leqslant 200$，给定的无向图至少存在一个生成树

提示：

简单无向图的定义为：没有任何重边和自环的无向图。
若复数$z_1=a_1+b_1i,z_2=a_2+b_2i$，则$z_1+z_2=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i$。
设复数$z=a+bi$，符号$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$表示该复数的模长。
若复数$z=a+bi$满足条件$b=0$，则该复数为实数。

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题解

假设我们已经知道了生成树中各边求和所得复数的单位方向向量，那么要使得生成树的边权和模长最大，只需各复数在该方向向量上的投影之和最大。于是，我们将每条边对应的复数在该方向向量上的投影作为其新的权值，做一遍最大生成树即可解决。

但是显然我们不能枚举所有的方向向量。

但是根据$kruskal$的算法流程我们可以知道：

生成树的形态只与各边边权的相对大小有关，而与具体权值无关。

不妨设两条边，其边权分别是$x_1+y_1i$和$x_2+y_2i(y_1\neq y_2)$当两条边对应的复数投影相等时，方向向量$(\cos\theta,\sin\theta)$需要满足：$x_1\cos\theta+y_1\sin\theta=x_2\cos\theta+y_2\sin\theta$，化简后得$\tan\frac{x_1-x_2}{y_2-y_1}\Rightarrow\theta 1=\arctan\frac{x_1-x_2}{y_2-y_1},\theta 2=\arctan\frac{x_1-x_2}{y_2-y_1}+\pi$。而当$y_1=y_2,x_1\neq x_2$时，等式化为$x_1\cos\theta=x_2\cos\theta\Rightarrow \cos\theta=0\Rightarrow \theta 1=\frac{\pi}{2},\theta 2=\frac{3\pi}{2}$。

那么，我们可以枚举每一对边，算出两条边投影相等时计较的分解点，此时这些分解点会把$[-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2})$的极角分成若干个小区间。由于每条变得投影大小关于极角$\theta$是连续变化的，所以在每个小极角区间内，所有边的投影相对大小关系不变。

于是我们可以对于每个区间任取一个方向向量做最大生成树，最后取最优方案即可。

需要注意的是因为$\arctan$无法求出$\frac{\pi}{2}$和$\frac{3\pi}{2}$，所以要插入这两个值。

时间复杂度：$\Theta(m^3\log m)$。

期望得分：$100$分。

实际得分：$100$分。

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代码时刻

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct rec{int x,y;double a,b,s;}e[201];
int n,m,cnt;
int fa[51];
double ans,theta[40001];
bool cmp(rec a,rec b){return a.s>b.s;}
int find(int x){return x==fa[x]?x:fa[x]=find(fa[x]);}
double kruskal(double x)
{
	int res=0;
	double a=0.0,b=0.0;
	for(int i=1;i<=m;i++)e[i].s=e[i].a*sin(x)+e[i].b*cos(x);
	sort(e+1,e+m+1,cmp);
	for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int x=find(e[i].x),y=find(e[i].y);
		if(x==y)continue;
		fa[x]=y;
		res++;
		a+=e[i].a;
		b+=e[i].b;
		if(res==n-1)break;
	}
	return a*a+b*b;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++)
		scanf("%d%d%lf%lf",&e[i].x,&e[i].y,&e[i].a,&e[i].b);
	for(int i=1;i<=m;i++)
		for(int j=i+1;j<=m;j++)
			if(e[i].b==e[j].b)theta[++cnt]=M_PI/2.0;
			else{theta[++cnt]=atan((e[i].a-e[j].a)/(e[j].b-e[i].b));theta[++cnt]=theta[cnt-1]+M_PI;}
	theta[++cnt]=-M_PI/2.0;
	theta[++cnt]=M_PI*3.0/2.0;
	sort(theta+1,theta+cnt+1);
	cnt=unique(theta+1,theta+cnt+1)-theta-1;
	for(int i=1;i<=cnt;i++)ans=max(ans,kruskal(theta[i]));
	printf("%.6lf",sqrt(ans));
	return 0;
}

---

rp++