HDU-4219-Randomization?

题目描述

给定一棵\(n\)个节点的树，每条边的权值为\([0,L]\)之间的随机整数，求这棵树两点之间最长距离不超过\(S\)的概率。

Input

第一行三个整数\(n，L，S\)

接下来n-1行，每行两个整数，表示树上的一条边。

1. \(1 <= T <= 512\)
2. \(1 <= N <= 64\)
3. \(1 <= L <= 8, 1 <= S <= 512\)

加强版：

1. \(T=1\)
2. \(1 <= N <= 100\)
3. \(1 <= L <= 10, 1 <= S <= 2000\)

Output

输出树上任意两点距离都不超过\(S\)的概率，误差在\(10^{-6}\)以内都在算正确

Sample Input

3
2 3 2
1 2
4 3 4
1 2
2 3
3 4
7 4 10
1 2
2 3
4 5
2 6
4 7
4 6

Sample Output

Case 1: 0.750000
Case 2: 0.500000
Case 3: 0.624832

让我们先来考虑一下未加强的数据该怎么去写？

题目中树上两点最大距离就是树的直径。

因此，对于一个节点，我们需要维护信息是该节点到其子树的最大值的距离的概率。

同时，我们还要把儿子向父亲转移，即维护儿子到另一个儿子的距离的概率。

那么，我们就可以直接树形\(DP\)了。

\(dp[i][j]\)表示节点\(i\)到其子树的最大值为\(j\)的概率。

\(Dis[i]\)表示当前节点的子树到父亲的距离为\(i\)的概率。

\(temp[i]\)进行储存\(dp\)值，因为一个\(dp\)值会被多次利用。

总时间复杂度:\(O(n*S*(S+L))\)。

对于这个算法是无法过加强版的。

我们可以发现，这个\(dp\)的时间复杂度主要累积到\(temp\)值的累积上。

并且\(temp\)值的累积一定是连续的一段区间。

于是我们就可以利用前缀和优化，最后再把重复的给减掉。

时间复杂度:\(O(n*S*L)\)。

代码如下

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define int long long
#define u64 unsigned long long
#define reg register
#define Raed Read
#define debug(x) cerr<<#x<<" = "<<x<<endl;
#define rep(a,b,c) for(reg int a=(b),a##_end_=(c); a<=a##_end_; ++a)
#define ret(a,b,c) for(reg int a=(b),a##_end_=(c); a<a##_end_; ++a)
#define drep(a,b,c) for(reg int a=(b),a##_end_=(c); a>=a##_end_; --a)
#define erep(i,G,x) for(reg int i=(G).Head[x]; i; i=(G).Nxt[i])

inline int Read() {
	int res = 0, f = 1;
	char c;
	while (c = getchar(), c < 48 || c > 57)if (c == '-')f = 0;
	do res = (res << 3) + (res << 1) + (c ^ 48);
	while (c = getchar(), c >= 48 && c <= 57);
	return f ? res : -res;
}

template<class T>inline bool Min(T &a, T const&b) {
	return a > b ? a = b, 1 : 0;
}
template<class T>inline bool Max(T &a, T const&b) {
	return a < b ? a = b, 1 : 0;
}

const int N = 2e3+5, M = 1005, mod = 1e9 + 7;

bool MOP1;

int n,l,s,Case;

struct Link_list {
	int Tot,Head[N],Nxt[M<<1],to[M<<1],cost[M<<1];
	inline void Init(void) {
		Tot=0;
		memset(Head,0,sizeof Head);
	}
	inline void AddEdgepair(int a,int b) {
		to[++Tot]=b,Nxt[Tot]=Head[a],Head[a]=Tot;
		to[++Tot]=a,Nxt[Tot]=Head[b],Head[b]=Tot;
	}
} G;

struct T290 {
	double Dis[N],dp[N][N],temp[N];
	void dfs(int x,int pre) {
		rep(i,1,s)dp[x][i]=0;
		dp[x][0]=1;
		rep(j,0,s)Dis[j]=temp[j]=0;
		erep(i,G,x) {
			int y=G.to[i];
			if(y==pre)continue;
			dfs(y,x);
			rep(j,0,s)Dis[j]=temp[j]=0;
			rep(j,0,l)rep(k,0,s)if(j+k<=s)Dis[j+k]+=dp[y][k]*1.0/(l+1);
			else break;
			rep(j,0,s)rep(k,0,s-j)temp[max((int)k,(int)j)]+=dp[x][k]*Dis[j];
			rep(j,0,s)dp[x][j]=temp[j];
		}
	}
	inline void solve(void) {
		ret(i,1,n) {
			int a=Raed(),b=Read();
			G.AddEdgepair(a,b);
		}
		dfs(1,0);
		double Ans=0;
		rep(i,0,s)Ans+=dp[1][i];
		printf("Case %lld: %.6lf\n",++Case,Ans);
	}
} Pbl;

struct T2100 {
	double Dis[N],dp[N][N],temp[N],Sum1[N],Sum2[N];
	void dfs(int x,int pre) {
		rep(i,1,s)dp[x][i]=0;
		dp[x][0]=1;
		erep(i,G,x) {
			int y=G.to[i];
			if(y==pre)continue;
			dfs(y,x);
			rep(j,0,s)Dis[j]=temp[j]=0;
			rep(j,0,l)rep(k,0,s)if(j+k<=s)Dis[j+k]+=dp[y][k]*1.0/(l+1);
			else break;
			Sum1[0]=dp[x][0];
			Sum2[0]=Dis[0];
			rep(i,1,s) {
				Sum1[i]=Sum1[i-1]+dp[x][i];
				Sum2[i]=Sum2[i-1]+Dis[i];
			}
			rep(j,0,s) {
				int k=min(j,s-j);
				temp[j]+=Sum1[k]*Dis[j];
			}
			rep(j,0,s) {
				int k=min(j,s-j);
				temp[j]+=Sum2[k]*dp[x][j];
			}
			rep(j,0,s)if(j*2<=s)temp[j]-=dp[x][j]*Dis[j];
			rep(j,0,s)dp[x][j]=temp[j];
		}
	}
	inline void solve(void) {
		ret(i,1,n) {
			int a=Raed(),b=Read();
			G.AddEdgepair(a,b);
		}
		dfs(1,0);
		double Ans=0;
		rep(i,0,s)Ans+=dp[1][i];
		printf("Case %lld: %.6lf\n",++Case,Ans);
	}
} P100;

bool MOP2;

inline void _main(void) {
	int T=Read();
	while(T--) {
		G.Init();
		n=Raed(),l=Read(),s=Read();
		P100.solve();
	}
}

signed main() {
#define offline1
#ifdef offline
	freopen("random.in", "r", stdin);
	freopen("random.out", "w", stdout);
	_main();
	fclose(stdin);
	fclose(stdout);
#else
	_main();
#endif
	return 0;
}