HDU-4219-Randomization?

题目描述

给定一棵$n$个节点的树，每条边的权值为$[0,L]$之间的随机整数，求这棵树两点之间最长距离不超过$S$的概率。

Input

第一行三个整数$n，L，S$

接下来n-1行，每行两个整数，表示树上的一条边。

$1 <= T <= 512$
$1 <= N <= 64$
$1 <= L <= 8, 1 <= S <= 512$

加强版：

$T=1$
$1 <= N <= 100$
$1 <= L <= 10, 1 <= S <= 2000$

Output

输出树上任意两点距离都不超过$S$的概率，误差在$10^{-6}$以内都在算正确

Sample Input

Sample Output

Case 1: 0.750000

Case 2: 0.500000

Case 3: 0.624832

让我们先来考虑一下未加强的数据该怎么去写？

题目中树上两点最大距离就是树的直径。

因此，对于一个节点，我们需要维护信息是该节点到其子树的最大值的距离的概率。

同时，我们还要把儿子向父亲转移，即维护儿子到另一个儿子的距离的概率。

那么，我们就可以直接树形$DP$了。

$dp[i][j]$表示节点$i$到其子树的最大值为$j$的概率。

$Dis[i]$表示当前节点的子树到父亲的距离为$i$的概率。

$temp[i]$进行储存$dp$值，因为一个$dp$值会被多次利用。

总时间复杂度:$O(n*S*(S+L))$。

对于这个算法是无法过加强版的。

我们可以发现，这个$dp$的时间复杂度主要累积到$temp$值的累积上。

并且$temp$值的累积一定是连续的一段区间。

于是我们就可以利用前缀和优化，最后再把重复的给减掉。

时间复杂度:$O(n*S*L)$。

代码如下

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define int long long

#define u64 unsigned long long

#define reg register

#define Raed Read

#define debug(x) cerr<<#x<<" = "<<x<<endl;

#define rep(a,b,c) for(reg int a=(b),a##_end_=(c); a<=a##_end_; ++a)

#define ret(a,b,c) for(reg int a=(b),a##_end_=(c); a<a##_end_; ++a)

#define drep(a,b,c) for(reg int a=(b),a##_end_=(c); a>=a##_end_; --a)

#define erep(i,G,x) for(reg int i=(G).Head[x]; i; i=(G).Nxt[i])

inline int Read() {

	int res = 0, f = 1;

	char c;

	while (c = getchar(), c < 48 || c > 57)if (c == '-')f = 0;

	do res = (res << 3) + (res << 1) + (c ^ 48);

	while (c = getchar(), c >= 48 && c <= 57);

	return f ? res : -res;

}

template<class T>inline bool Min(T &a, T const&b) {

	return a > b ? a = b, 1 : 0;

}

template<class T>inline bool Max(T &a, T const&b) {

	return a < b ? a = b, 1 : 0;

}

const int N = 2e3+5, M = 1005, mod = 1e9 + 7;

bool MOP1;

int n,l,s,Case;

struct Link_list {

	int Tot,Head[N],Nxt[M<<1],to[M<<1],cost[M<<1];

	inline void Init(void) {

		Tot=0;

		memset(Head,0,sizeof Head);

	}

	inline void AddEdgepair(int a,int b) {

		to[++Tot]=b,Nxt[Tot]=Head[a],Head[a]=Tot;

		to[++Tot]=a,Nxt[Tot]=Head[b],Head[b]=Tot;

	}

} G;

struct T290 {

	double Dis[N],dp[N][N],temp[N];

	void dfs(int x,int pre) {

		rep(i,1,s)dp[x][i]=0;

		dp[x][0]=1;

		rep(j,0,s)Dis[j]=temp[j]=0;

		erep(i,G,x) {

			int y=G.to[i];

			if(y==pre)continue;

			dfs(y,x);

			rep(j,0,s)Dis[j]=temp[j]=0;

			rep(j,0,l)rep(k,0,s)if(j+k<=s)Dis[j+k]+=dp[y][k]*1.0/(l+1);

			else break;

			rep(j,0,s)rep(k,0,s-j)temp[max((int)k,(int)j)]+=dp[x][k]*Dis[j];

			rep(j,0,s)dp[x][j]=temp[j];

		}

	}

	inline void solve(void) {

		ret(i,1,n) {

			int a=Raed(),b=Read();

			G.AddEdgepair(a,b);

		}

		dfs(1,0);

		double Ans=0;

		rep(i,0,s)Ans+=dp[1][i];

		printf("Case %lld: %.6lf\n",++Case,Ans);

	}

} Pbl;

struct T2100 {

	double Dis[N],dp[N][N],temp[N],Sum1[N],Sum2[N];

	void dfs(int x,int pre) {

		rep(i,1,s)dp[x][i]=0;

		dp[x][0]=1;

		erep(i,G,x) {

			int y=G.to[i];

			if(y==pre)continue;

			dfs(y,x);

			rep(j,0,s)Dis[j]=temp[j]=0;

			rep(j,0,l)rep(k,0,s)if(j+k<=s)Dis[j+k]+=dp[y][k]*1.0/(l+1);

			else break;

			Sum1[0]=dp[x][0];

			Sum2[0]=Dis[0];

			rep(i,1,s) {

				Sum1[i]=Sum1[i-1]+dp[x][i];

				Sum2[i]=Sum2[i-1]+Dis[i];

			}

			rep(j,0,s) {

				int k=min(j,s-j);

				temp[j]+=Sum1[k]*Dis[j];

			}

			rep(j,0,s) {

				int k=min(j,s-j);

				temp[j]+=Sum2[k]*dp[x][j];

			}

			rep(j,0,s)if(j*2<=s)temp[j]-=dp[x][j]*Dis[j];

			rep(j,0,s)dp[x][j]=temp[j];

		}

	}

	inline void solve(void) {

		ret(i,1,n) {

			int a=Raed(),b=Read();

			G.AddEdgepair(a,b);

		}

		dfs(1,0);

		double Ans=0;

		rep(i,0,s)Ans+=dp[1][i];

		printf("Case %lld: %.6lf\n",++Case,Ans);

	}

} P100;

bool MOP2;

inline void _main(void) {

	int T=Read();

	while(T--) {

		G.Init();

		n=Raed(),l=Read(),s=Read();

		P100.solve();

	}

}

signed main() {

#define offline1

#ifdef offline

	freopen("random.in", "r", stdin);

	freopen("random.out", "w", stdout);

	_main();

	fclose(stdin);

	fclose(stdout);

#else

	_main();

#endif

	return 0;

}