与数论的厮守05:gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)的证明

\[设c=gcd(a,b)，那么a可以表示为mc，b可以表示为nc的形式。然后令a=kb+r，那么我们就\\
只需要证明gcd(b,r)=c即可。{\because}r=a-kb=mc-knc，{\therefore}gcd(b,r)=gcd(nc,mc-knc)\\
=gcd(nc,(m-kn)c)，所以我们只需要证gcd(n,m-kn)=1即可。\\
设n=xd,m-kn=yd，那么m=kn+yd=kxd+yd，进而a=(kx+y)cd,b=xcd\\
，于是gcd(a,b)就可以表示为gcd((kx+y)cd,xcd)=cd，如果要让它等于c，那么d=1，即\\
gcd(n,m-kn)=1。
\]

放上模板代码：

int gcd(int a,int b){
    if(!b) return a;
    return gcd(b,a%b);
}
//压行之后:
int gcd(int a,int b){ return b?gcd(b,a%b):a; }