CF662C Binary Table【FWT】

CF662C Binary Table

题意：

给出一个\(n\times m\)的\(01\)矩阵，每次可以反转一行或者一列，问经过若干次反转之后，最少有多少个\(1\)

\(n\le 20, m\le 10^5\)

题解：

可以把每一列看作一个二进制数，这样得到\(m\)个二进制数，记为\(A\)，翻转第\(i\)列就相当于把每个二进制数异或上\(1<<i\)，由于\(n\)很小，所以枚举所有的翻转组合，一共\(2^n\)种，令\(d(x)\)表示最高位为\(n\)的二进制数中\(0\)和\(1\)数量的最大值，那么答案可以表示为：

\[\sum_{msk=0}^{2^n-1}(\sum_{i=1}^m d(msk\oplus A[i]))
\]

转化一下得到：

\[\sum_{msk=0}^{2^n-1}(\sum_{x\oplus y=msk} d(x) \times c(y))
\]

其中\(c(y)\)表示\(y\)出现的次数

接下来跑\(FWT\)就好了

view code

//#pragma GCC optimize("O3")
//#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
function<void(void)> ____ = [](){ios_base::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);};
const int MAXN = 2e6+7;
const int MOD = 998244353;
const int inv2 = (MOD + 1) / 2;
int n, m, A[MAXN], f[MAXN], N, c[MAXN];

void FWT_xor(int *a,int opt){
    for(int i=1;i<N;i<<=1)
        for(int p=i<<1,j=0;j<N;j+=p)
            for(int k=0;k<i;++k){
                int X=a[j+k],Y=a[i+j+k];
                a[j+k]=(X+Y)%MOD;a[i+j+k]=(X+MOD-Y)%MOD;
                if(opt==-1)a[j+k]=1ll*a[j+k]*inv2%MOD,a[i+j+k]=1ll*a[i+j+k]*inv2%MOD;
            }
}
char buf[MAXN];
int main(){
    scanf("%d %d",&n,&m);
    for(int i = 0; i < n; i++){
        scanf("%s",buf+1);
        for(int j = 1; j <= m; j++) A[j] ^= ((buf[j]-'0')<<i);
    }
    N = 1 << n;
    for(int i = 0; i < N; i++){
        f[i] = __builtin_popcount(i);
        f[i] = min(f[i],n-f[i]);
    }
    for(int i = 1; i <= m; i++) c[A[i]]++;
    FWT_xor(f,1); FWT_xor(c,1);
    for(int i = 0; i < N; i++) f[i] = 1ll * f[i] * c[i] % MOD;
    FWT_xor(f,-1);
    cout << *min_element(f,f+N) << endl;
    return 0;
}