AtCoder Beginner Contest 171-175 F

171 F - Strivore

直接把初始字符当成隔板，统计的方案数会有重复

为了避免重复情况，规定隔板字母尽可能最后出现，即在隔板字母后面不能插入含隔板字母的字符串

所以在隔板字母后插入的字符只有25种选择，而在最前面的位置插入字符有26种选择

枚举在最前面位置插入的字符个数，这些字符有26中选法，剩下的字符插入到隔板字母的后面，有25种选法

剩余字符的插入位置利用隔板法转化为在剩余字符中选择\(m - 1\)块板(第一块板已固定)

const int P = 1e9 + 7;
const int N = 2e6 + 10;

int n, m;
char s[N];
int fact[N], infact[N];

int pow_mod(int a, int b, int p)
{
	int res = 1;
	while(b)
	{
		if(b & 1) res = (LL)res * a % p;
		a = (LL)a * a % p;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}

void init()
{
	fact[0] = infact[0] = 1;
	for(int i = 1; i < N; ++ i)
	{
		fact[i] = (LL)fact[i - 1] * i % P;
		infact[i] = (LL)infact[i - 1] * pow_mod(i, P - 2, P) % P;
	}
}

int C(int a, int b)
{
	return (LL)fact[a] * infact[b] % P * infact[a - b] % P;
}

int main()
{
	init();
	scanf("%d%s", &n, s); m = strlen(s);
	int res = 0;
	for(int i = 0; i <= n; ++ i)
	{
		int tmp = (LL)pow_mod(25, n - i, P) * C(n + m - i - 1, m - 1) % P;
		tmp = (LL)tmp * pow_mod(26, i, P) % P;
		res = (res + tmp) % P;
	}
	printf("%d\n", res);
	return 0;
}

172 F - Unfair Nim

令\(A = a_1 - x\), \(B = a_2 + x\)

\(A\) ^ \(B\) ^ \(a_3\) ^ \(...\) ^ \(a_n = 0\)

令\(y = a_3\) ^ \(...\) ^ \(a_n\), \(x = a_1 + a_2 = A + B\)

\(A + B = 2 * (A \;\&\; B) + A\) ^ \(B\)

故满足下列式子：\(A \;\&\; B = \dfrac{x - y}{2}\)， 且\(A\) ^ \(B = y\)

如果\(x < y\)或者\(2\)不能整除\(x - y\)，不合法，输出\(-1\)

找到在\([1,a_1]\)内满足上式的最大的\(A\)

考虑\(A\)的每一位，\(A \;\&\; B\)的位必须为\(1\)

\(XOR = 1, AND = 1\), 不合法，输出\(-1\)

\(XOR = 1, AND = 0\), 如果\(A\)当前位为\(1\)不超过\(a_1\)，则此位置\(1\)，否则为\(0\)

\(XOR = 0, AND = 1\), \(A\)当前位为\(1\)

\(XOR = 0, AND = 0\), \(A\)当前位为\(0\)

const int N = 300 + 10;
typedef long long LL;

int n;
LL a[N];

int main()
{
	IOS;
	cin >> n;
	LL x, y = 0;
	for(int i = 1; i <= n; ++ i) cin >> a[i];
	for(int i = 3; i <= n; ++ i) y ^= a[i];
	x = a[1] + a[2];
	if((x - y) < 0 || (x - y) % 2) { puts("-1"); return 0; }
	LL XOR = y, AND = (x - y) / 2;
	LL A = AND;
	for(int i = 60; i >= 0; -- i)
	{
		int Ai, Xi;
		Ai = (AND >> i) & 1;
		Xi = (XOR >> i) & 1;
		if(Ai == 1 && Xi == 1) { puts("-1"); return 0; }
		if(Ai == 0 && Xi == 1)
			if(A + (1LL << i) <= a[1]) A += (1LL << i);
	}

	if(A >= 1 && A <= a[1]) cout << a[1] - A << endl;
	else puts("-1");

	return 0;
}

173 F - Intervals on Tree

森林中子树的数量 = 点的数量 - 边的数量

考虑所有集合中点的数量总和为\(n * 1 + (n - 1) * 2 + (n - 2) * 3 \; + \; ... \; + \; 1 * n\)

考虑每条边\((a,b)\)的贡献(即出现次数)为：\(a * (n - b + 1)\)

int n;
int main()
{
	scanf("%d", &n);
	LL res = 0;
	for(int i = n; i >= 1; -- i)
		res += (LL)i * (n + 1 - i);
	for(int i = 1; i < n; ++ i)
	{
		int a, b;
		scanf("%d%d", &a, &b);
		if(a > b) swap(a, b);
		res -= (LL)a * (n - b + 1);
	}
	printf("%lld\n", res);
	return 0;
}

174 F - Range Set Query

离线查询\([l,r]\)中不同数字的个数

对于当前区间来说,每种数字仅保留最后一个位置(置为1),其他的置为0，答案即为\([l,r]\)的权值和.

故先把所有查询读入，按照右端点排序，保证查询区间的右端点依次出现.

修改为\(0\)和查询权值和的操作用树状数组优化.

const int N = 5e5 + 20;

struct Query
{
	int l, r, id;
}q[N];

int n, m, tr[N], a[N], ans[N];
int pos[N];

bool cmp(Query a, Query b) { return a.r < b.r; }
int lowbit(int x) { return x & -x; }

int sum(int x) { int res = 0; for(int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i]; return res; }

void add(int x, int v) { for(int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += v; }

int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int i = 1; i <= n; ++ i) scanf("%d", &a[i]);
	for(int i = 1; i <= n; ++ i) add(i, 1);
	for(int i = 1; i <= m; ++ i)
	{
		scanf("%d%d", &q[i].l, &q[i].r);
		q[i].id = i;
	}
	sort(q + 1, q + m + 1, cmp);
	int last = 1;
	for(int i = 1; i <= m; ++ i)
	{
		for(int j = last; j <= q[i].r; ++ j)
		{
			if(pos[a[j]]) add(pos[a[j]], -1);
			pos[a[j]] = j;
		}
		ans[q[i].id] = sum(q[i].r) - sum(q[i].l - 1);
		last = q[i].r + 1;
	}
	for(int i = 1; i <= m; ++ i)
		printf("%d\n", ans[i]);
	return 0;
}

175 F - Making Palindrome

每个字符串可以看做是一个初始状态，状态由字符串和放置位置（置于左侧或右侧）组成,初始串既可以放在左侧，也可以放在右侧.

对于每一次合并，可以将回文的部分删去，剩余部分则是一个串的前缀或后缀, 故可以把所有字符串的前后缀处理成每个状态.

每一次合并的花费为选择串的价值，即从一个状态连接选择串转移到另一个状态，也就是从当前状态到另一个状态连一条权值为选择串价值的边.

每一个初始串都是一个起点，每一个回文串都是一个终点.

构建一个超级源点，向每个初始串连权值为\(c_i\)的边，构建一个超级汇点，每个回文串向超级汇点连一条权值为\(0\)的边，跑最短路即可.

const int N = 100 + 2;
const int M = 1e5 + 20;
const LL INF = 1e18;

string s[N];
int c[N];
int n, cnt;

map<pair<string, int>, int> Sub; 

bool check(string str)
{
	if((int)str.size() <= 1) return 1;
	int len = str.size() - 1;
	for(int i = 0; i <= len / 2; ++ i)
		if(str[i] != str[len - i]) return 0;
	return 1;
}

int conn(string a, string b, string &c)
{
	int i = 0, j = b.size() - 1;
	while(i < (int)a.size() && j >= 0)
		if(a[i ++ ] != b[j -- ]) return -1;
	if(i >= (int)a.size() && j < 0) { c = ""; return 0; }
	else if(j >= 0) { c = b.substr(0, j + 1); return 1; }
	else if(i < (int)a.size()) { c = a.substr(i); return 0; }
}

struct Edge
{
	int to, nxt, w;
}line[M * 2];
LL dis[M];
int fist[M], idx;
bool st[M];
struct zt
{
	int x; LL d;
};
bool operator < (zt a, zt b) { return a.d > b.d; }

void add(int x, int y, int z)
{
	line[idx] = (Edge){y, fist[x], z};
	fist[x] = idx ++;
}

void heap_dijkstra()
{
	priority_queue<zt> q;
	for(int i = 1; i <= cnt + 1; ++ i) dis[i] = INF;
	q.push((zt){0, 0});
	while(!q.empty())
	{
		zt u = q.top(); q.pop();
		if(st[u.x]) continue;
		st[u.x] = 1;
		for(int i = fist[u.x]; i != -1; i = line[i].nxt)
		{
			int v = line[i].to;
			if(dis[v] > dis[u.x] + line[i].w)
			{
				dis[v] = dis[u.x] + line[i].w;
				q.push((zt){v, dis[v]});
			}
		}
	}
}

int main()
{
	IOS;
	memset(fist, -1, sizeof fist);
	cin >> n;
	for(int i = 1; i <= n; ++ i)
	{
		cin >> s[i] >> c[i];
		for(int j = s[i].size() - 1; j >= 0; -- j)
			Sub[make_pair(s[i].substr(j), 0)] = ++ cnt;
		for(int j = 1; j <= (int)s[i].size(); ++ j)
			Sub[make_pair(s[i].substr(0, j), 1)] = ++ cnt;
	}
	Sub[make_pair("", 0)] = ++ cnt;
	Sub[make_pair("", 1)] = ++ cnt;
	for(int i = 1; i <= n; ++ i)
	{
		add(0, Sub[make_pair(s[i], 0)], c[i]);
		add(0, Sub[make_pair(s[i], 1)], c[i]);
	}
	for(auto x: Sub)
		if(check(x.first.first))
			add(x.second, cnt + 1, 0);
	for(auto x: Sub)
		for(int i = 1; i <= n; ++ i)
		{
			int res; string v;
			if(x.first.second == 0)
				res = conn(x.first.first, s[i], v);
			else res = conn(s[i], x.first.first, v);
			if(res != -1) add(x.second, Sub[make_pair(v, res)], c[i]);
		}
	heap_dijkstra();
	if(dis[cnt + 1] >= INF) cout << "-1" << endl;
	else cout << dis[cnt + 1] << endl;
	return 0;
}

2021.1.28