E CF R 85 div2 1334E. Divisor Paths

LINK：Divisor Paths

考试的时候已经想到结论了 可是质因数分解想法错了 导致自闭。

一张图 一共有D个节点 每个节点x会向y连边 当且仅当y|x,x/y是一个质数。

设f(d)表示d的约数个数 那么x->y的无向边的边权为f(x)-f(y);

每次询问两个点x,y之间的最短路径的条数有多少条,保证x|D,y|D.

不妨假设x>y.当y|x时容易发现y只需要每次在保证次数大于x的质因子上不断将自己本身的一个质数因子去掉即可。

不难发现 此时最短路长度为1 因为不管中间去的方式如何最后得到的是同一个值。

可以发现 此时我们完全可以把 y当成1 把x当成x/y 来计算。

可以发现x不会增加一个质因子 因为最后还是要减掉这是不优的。

方案容易看出是排列数/每个质因子的阶乘。

考虑当y不整除x的时候

有几种选择 x->gcd(x,y)->y x->lcm(x,y)->y.

考虑第一种 x不可能往比gcd更小的点走 因为那样走只是在白白的增加恭喜罢了 同理第二种 x不会往比lcm更大的走。

可以发现 gcd(x,y)->y和x->lcm(x,y)中 显然前者一定小于后者。

考虑 x->gcd(x,y) 和 lcm(x,y)->y 中 也很显然前者一定小于后者。

再考虑路径x->gcd(x,y)这个东西 可以证明中途的时候去跑到y的质因子上面带来的结果会更差。

综上算出两条路径的方案之积即可。

考试的时候 sb的地方是 发现给出的x y质因数分解复杂度会高达1e7发现做不了。

但是我们考虑直接拿质数来筛 因为都是D的因数 所以拿D里面的质因数筛即可。

可以发现D里面的质因数不超过13个。

这样只用暴力分解D即可、

const ll MAXN=60;
ll D,n,top,maxx;
ll c[MAXN],w[MAXN],s[MAXN];
ll fac[MAXN],inv[MAXN];
inline ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}
inline ll ksm(ll b,ll p){ll cnt=1;while(p){if(p&1)cnt=cnt*b%mod;p=p>>1;b=b*b%mod;}return cnt;}
inline void prepare()
{
	fac[0]=1;
	rep(1,maxx,i)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	inv[maxx]=ksm(fac[maxx],mod-2);
	fep(maxx-1,0,i)inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
}
inline ll solve(ll x)
{
	ll cnt=0;
	rep(1,top,i)
	{
		c[i]=0;
		if(x%s[i]==0)while(x%s[i]==0)++c[i],x/=s[i];
		cnt+=c[i];
	}
	ll ans=fac[cnt];
	rep(1,top,i)ans=ans*inv[c[i]]%mod;
	return ans;
}
signed main()
{
	freopen("1.in","r",stdin);
	get(D);ll cc=D;
	for(ll i=2;i*i<=cc;++i)
	{
		if(cc%i==0)
		{
			s[++top]=i;
			while(cc%i==0)cc/=i,++w[top];
		}
	}
	if(cc>1)s[++top]=cc,++w[top];
	rep(1,top,i)maxx+=w[i];
	get(n);prepare();
	rep(1,n,i)
	{
		ll x,y;
		get(x);get(y);
		ll gg=gcd(x,y);
		putl(solve(x/gg)*solve(y/gg)%mod);
	}
	return 0;
}