Tarjan算法 学习笔记

前排提示：先学习拓扑排序，再学习Tarjan有奇效。

--------------------------

Tarjan算法一般用于有向图里强连通分量的缩点。

强连通分量：有向图里能够互相到达的点的集合。（大概是这么个意思，自己意会）

因为能够互相到达，所以宏观上我们可以把它们看成一个点，边权也相应的加起来即可。

下面是Tarjan过程的代码解释：

我们开两个数组，分别为dfn[]和low[]。dfn表示此点的时间戳，low表示最早的时间戳。（即进入某一个环最早的时间戳）

遇到一个没有记录过的点，就把它扔到栈里，不停dfs，直到dfn[]==low[]，即某一个环已经遍历完了，我们就弹栈，将这一个环合并。

代码如下：

void tarjan(int now)
{
    dfn[now]=low[now]=++cnt;
    st[++top]=now;
    vis[now]=;
    for (int i=head[now];i;i=edge[i].next)
    {
        int to=edge[i].to;
        if (!dfn[to]) tarjan(to),low[now]=min(low[now],low[to]);
        else if (vis[to]) low[now]=min(low[now],dfn[to]);
    }
    if (dfn[now]==low[now])
    {
        tot++;
        while(st[top+]!=now)
        {
            pos[st[top]]=tot;
            sum[tot]+=val[st[top]];
            vis[st[top--]]=;
        }
    }
}

配合拓扑排序，一张新的有向无环图就构造了出来。

-------------------------------------------------------------------------------------

【模板】 缩点

给定一个含有n个点m条边的有向图每个点有一个权值，求一条路径，使路径经过的点权值之和最大。你只需要求出这个权值和。

允许多次经过一条边或者一个点，但是，重复经过的点，权值只计算一次。

第一行两个整数，为$n$,$m$。

第二行到第$m+1$行有每行有3个整数，分别为$u,v,d$,表示$u\rightarrow v$有一条长度为$d$的边。

输出格式：一行结果。

-------------------------------------------------

Tarjan模板题，只不过加了一点小DP，记忆化搜索即可。注意的地方就是拓扑排序后的重新建图。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=;
int cnt,dfn[maxn],vis[maxn],low[maxn];
int f[maxn],sum[maxn],ans;
int jishu,head[];
int top,st[maxn],pos[maxn],tot;
int n,m,x[maxn],y[maxn],val[maxn];
struct node
{
    int next,to;
}edge[];
inline int read()
{
    int x=,f=;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if (ch=='-') f=-;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=x*+ch-'';ch=getchar();}
    return x*f;
}
inline void add(int from,int to)
{
    edge[++jishu].next=head[from];
    edge[jishu].to=to;
    head[from]=jishu;
}
void tarjan(int now)
{
    dfn[now]=low[now]=++cnt;
    st[++top]=now;
    vis[now]=;
    for (int i=head[now];i;i=edge[i].next)
    {
        int to=edge[i].to;
        if (!dfn[to]) tarjan(to),low[now]=min(low[now],low[to]);
        else if (vis[to]) low[now]=min(low[now],dfn[to]);
    }
    if (dfn[now]==low[now])
    {
        tot++;
        while(st[top+]!=now)
        {
            pos[st[top]]=tot;
            sum[tot]+=val[st[top]];
            vis[st[top--]]=;
        }
    }
}
void search(int x)
{
    if (f[x]) return;
    f[x]=sum[x];
    int maxx=;
    for (int i=head[x];i;i=edge[i].next)
    {
        int to=edge[i].to;
        if (!f[to]) search(to);
        maxx=max(maxx,f[to]);
    }
    f[x]+=maxx;
}
void clear()
{
    jishu=;
    memset(edge,,sizeof(edge));
    memset(head,,sizeof(head));
}
int main()
{
    n=read(),m=read();
    for (int i=;i<=n;i++) val[i]=read();
    for (int i=;i<=m;i++)
    {
        x[i]=read(),y[i]=read();
        add(x[i],y[i]);
    }
    for (int i=;i<=n;i++) if (!dfn[i]) tarjan(i);
    clear();
    for (int i=;i<=m;i++) if (pos[x[i]]!=pos[y[i]]) add(pos[x[i]],pos[y[i]]);
    for (int i=;i<=n;i++) search(i),ans=max(ans,f[i]);
    printf("%d\n",ans);
    return ;
}

另，如果是无向图缩点，一定要加上这句话：

if (edge[i].to==fa) continue;

【模板】割点

给定一个含有n个点m条边的无向图，求图的割点。

------------------------------------------

割点是指去掉这个点整个图便不连通的点。

我们可以同样用Tarjan算法，建立一颗搜索树。

如果此点为根节点，则判断是否有>=2棵子树。如果存在，那么此点为割点。

对于非根节点，如果low[v]>=dfn[u]($u\rightarrow v$)那么u点为割点（因为从u点开始无论怎么走都不可能回到原来的点了）。

思路还是比较清晰的，直接放代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=;
int head[],jishu;
int dfn[maxn],low[maxn],cnt;
int n,m,ans;
bool cut[maxn];
struct node
{
    int next,to;
}edge[];
inline int read()
{
    int x=,f=;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=x*+ch-'';ch=getchar();}
    return x*f;
}
inline void add(int from,int to)
{
    edge[++jishu].next=head[from];
    edge[jishu].to=to;
    head[from]=jishu;
}
void tarjan(int now,int fa)
{
    dfn[now]=low[now]=++cnt;
    int child=;
    for (int i=head[now];i;i=edge[i].next)
    {
        int to=edge[i].to;
        if (!dfn[to]){
            tarjan(to,fa);
            low[now]=min(low[now],low[to]);
            if (low[to]>=dfn[now]&&now!=fa) cut[now]=;
            if (now==fa) child++;
        }
        low[now]=min(low[now],dfn[to]);
    }
    if (child>=&&now==fa) cut[now]=;
}
int main()
{
    n=read(),m=read();
    for (int i=;i<=m;i++)
    {
        int u=read(),v=read();
        add(u,v);add(v,u);
    }
    for (int i=;i<=n;i++) if (!dfn[i]) tarjan(i,i);
    for (int i=;i<=n;i++) if (cut[i]) ans++;
    printf("%d\n",ans);
    for (int i=;i<=n;i++) if (cut[i]) printf("%d ",i);
    return ;
}