Kummer 定理

\(n!\) 中含素数 \(p\) 的幂次为 \(\displaystyle\sum_{i=1}\lfloor\frac{n}{p^{i}}\rfloor\)

Kummer 定理：\({n+m\choose n}\) 中含素数 \(p\) 的幂次等于 \(p\) 进制下 \(n+m\) 的进位次数

证明：由 \(\displaystyle{n+m\choose n}=\frac{(n+m)!}{n!m!}\) 得答案为 \(\displaystyle\sum_{i=1}\left(\lfloor\frac{n+m}{p^{i}}\rfloor-\lfloor\frac{n}{p^{i}}\rfloor-\lfloor\frac{m}{p^{i}}\rfloor\right)\)，而 \(\displaystyle\lfloor\frac{n+m}{p^{i}}\rfloor-\lfloor\frac{n}{p^{i}}\rfloor-\lfloor\frac{m}{p^{i}}\rfloor\) 就是第 \(i-1\) 位的进位次数

推论：\(\displaystyle p\mid{p^{k}\choose m},0\le m<p^{k}\)