ARC150D - Removing Gacha （树上期望）

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题意： 给一棵 \(n\) 个节点的树，称一个点是好的，当且仅当它到根的路径上都是黑色（包括自己）。每次在不好的节点中随机选一个把它涂成黑色（不管原来它是否是白的），直到所有点都是好的为止。求期望涂色次数。

原题题解 \(O(n\log n)\) 乐傻了，以下是 tester's solution

令 \(X_u\) 为 \(u\) 被选的次数，则我们只需要求 \(\sum E[X_u]\)。发现考虑 \(E[X_u]\) 时，只有 \(u\) 及 \(u\) 的祖先需要关心，其余可以一律忽略。

设 \(u\) 的深度为 \(k\)，则问题变成了：现在有 \(k\) 个点排成一排，每次选一个前面不都为黑色的点涂黑，直到所有点都被涂黑为止，求最后一个点被涂黑的期望次数。

利用鞭尸技巧，并注意到最后一个点涂黑永远都是合法的直到整个过程结束，于是以上问题等价于：现在有 \(k\) 个点，每次选一个点涂黑，直到所有点都被涂黑为止，求最后一个点被涂黑的期望次数。

所有点都被涂黑的期望次数为 \(\sum_{i=1}^k {k\over i}\)，而此时所有点地位相同，所以最后一个点被涂黑的期望次数为 \(\sum_{i=1}^k {1\over i}=H_k\)。

答案即为 \(\sum_{u=1}^n H_{dep_u}\)。时间复杂度 \(O(n)\)。