loj2000[SDOI2017]数字表格

题意：f为Fibnacci数列。求$\prod_{1<=i<=n,1<=j<=m} f[gcd(i,j)]$.

n,m<=1e6.

标程：

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const int mod=1e9+;
 const int N=1e6+;
 int f[N],prime[N],tot,F[N],ans,p[N],n,m,nxt,u[N],fi[N];
 int ksm(int x,int y)
 {
   int res=;
   for (;y;x=(ll)x*x%mod,y>>=)
     if (y&) res=(ll)res*x%mod;
   return res;
 }
 void pre()
 {
   f[]=f[]=fi[]=fi[]=;
   for (int i=;i<N;i++) f[i]=((ll)f[i-]+f[i-])%mod,fi[i]=ksm(f[i],mod-);
   u[]=;
   for (int i=;i<N;i++)
   {
     if (!p[i]) prime[++tot]=i,u[i]=-;//质数的u是-1！
     for (int j=;j<=tot&&(ll)prime[j]*i<N;j++)
     {
       p[prime[j]*i]=;
       if (i%prime[j]==) break;
       u[prime[j]*i]=-u[i];
     }
   }
   for (int i=;i<N;i++) F[i]=;
   for (int i=;i<N;i++)
     if (u[i]!=)
     for (int j=i;j<N;j+=i)
       F[j]=(ll)F[j]*(u[i]==?f[j/i]:fi[j/i])%mod;//注意u有可能是-1
   for (int i=;i<N;i++) F[i]=(ll)F[i]*F[i-]%mod;
 }
 int main()
 {
   pre();int T;
   scanf("%d",&T);
   while (T--)
   {
     scanf("%d%d",&n,&m);ans=;
     for (int i=;i<=min(n,m);i=nxt+)
     {
       nxt=min(n/(n/i),m/(m/i));
       ans=(ll)ans*ksm((ll)F[nxt]*ksm(F[i-],mod-)%mod,(ll)(n/i)*(m/i)%(mod-))%mod;
     }
     printf("%d\n",ans);
   }
   return ;
 }

注意点：质数的u是-1！不要忘记。

题解：mobius反演

看到gcd就可以提出来，$Ans=\prod_{d=1}^{min(n,m)} f[d]^{\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}[\gcd(i,j)=1]}$

指数上的是mobius经典题，用$\mu$函数反演以下，得到$Ans=\prod_{d=1}^{min(n,m)} f[d]^{\sum_k\lfloor\frac{n}{dk}\rfloor\lfloor\frac{m}{dk}\rfloor\mu(k)}$。

令u=kd,$Ans=\prod_u(\prod_{k|u}f[\frac{u}{k}]^{\mu(k)})^{\lfloor\frac{n}{u}\rfloor\lfloor\frac{m}{u}\rfloor}$。分块即可。

预处理中间那部分东西的前缀积。