题目描述

一条街的一边有几座房子。因为环保原因居民想要在路边种些树。路边的地区被分割成块,并被编号成1…N。每个部分为一个单位尺寸大小并最多可种一棵树。每个居民想在门前种些树并指定了三个号码B,E,T。这三个数表示该居民想在B和E之间最少种T棵树。当然,B≤E,居民必须记住在指定区不能种多于区域地块数的树,所以T≤E-B+l。居民们想种树的各自区域可以交叉。你的任务是求出能满足所有要求的最少的树的数量。

写一个程序完成以下工作:

输入格式 第一行包含数据N,区域的个数(0<N≤30000);

第二行包含H,房子的数目(0<H≤5000);

下面的H行描述居民们的需要:B E T,0<B≤E≤30000,T≤E-B+1。

输出格式 输出文件只有一行写有树的数目

输入输出样例

输入 #1 复制
9
4
1 4 2
4 6 2
8 9 2
3 5 2
输出 #1 复制
5

思路(差分约束)

其实本题没有什么要多想的,就一些东西要注意:

  1. 首先本题让求的是 “最小种树数量”,既然是最小那么我们就要 我们就要 用 Spfa 跑 “最长路径”(具体为啥可以参考我的理解)。
  2. 把所给的(隐藏的和直接给出来的)不等式全部变 “ >= ” 的形式
  3. 找出题目上给的(包括题目中隐藏的约束 不等式条件找出来)
    • 对于输入的不等式条件: 假定为: u, v, w ;那么我们可以列出不等式:v - (u-1) >= w,那么我们直接建边 (u - 1) -> v 其权值为 w
    • 对于题意中(每个部分为一个单位尺寸大小并最多可种一棵树)的不等式:对于任意一个距离点:u 我们考虑: 0 <= u - (u-1)<= 1,我可以把它变成两个不等式: u - (u-1) >=0 、u - (u-1) <= 1 , 将他们变成 “ >= ”的形式为:u = (u-1) + 0(u-1) >= u - 1,因此对于一个 点u我们可以建了两条边:(u-1) -> u 权值为 0u ->(u-1) 权值为 -1…//////////////最后 u的取值范围为 1~n, 所以一次便利所有可能的u,把边都建立上就行了
    • 最后别忘了,考虑一下“超级源点”在这一题中为 0。。。。。。

最后贴出 luogu 大佬的思路

题解

#include<iostream>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
const int maxn = 300005;
const int maxm = 300000;
int m,n;
struct Edge
{
int v,w,next;
} edge[maxm];
int head[maxn], dis[maxn];
int k = 0; void Add(int u, int v, int w)
{
edge[++ k] = (Edge){ v, w, head[u]}; head[u] = k;
} int Spfa(int s, int e)
{
int use[maxn] = {0};
queue<int> q;
q.push(s);
int u,v,w;
while(! q.empty())
{
u = q.front(); q.pop();
use[u] = 0; for(int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next)
{
v = edge[i].v;
w = edge[i].w;
if(dis[v] < dis[u] + w)
{
dis[v] = dis[u] + w;
if(! use[v])
{
q.push(v);
use[v] = 1;
}
}
}
}
return dis[n];
} void init()
{
k = 0;
for(int i = 0; i <= n; i ++)
head[i] = -1, dis[i] = -INF;
dis[0] = 0;
} int main()
{
ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0);
//freopen("T.txt","r",stdin);
cin >> n >> m;
init();
int u,v,w;
for(int i = 1; i <= m; i ++)
{
cin >> u >> v >> w;
// v - u >= w
Add(u-1, v, w);
}
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
Add(i-1, i, 0);
Add(i, i-1,-1);
// a - b >= 0 a >= b
// a - b <= 1 b >= a - 1
} cout << Spfa(0, n) << endl; return 0;
}

思路(贪心)

这题可以用 贪心 的思想去考虑这个问题,这里可以部分借鉴:“贪心 区间选点问题”的一下思路,,,,我们可以题目所给的区间(u,v)按 结束位置v从 小到大 排序,如果两个区间结束位置相同,那么按照 区间开始的位置u 从大 到小排序,,,排序完之后,我们考虑 要想种植最少的树,那么 一棵树就要尽可能多的被多个的区间利用, 而在该区间种树的位置,越靠近区间后面的位置有越大的概率,被下一区间重复利用,而我需要的就是这个重复利用,所以我们在选择中树的时候,应该从后往前植树, 对于第一区间, 它需要多少棵树就从后往前种多少棵树(其实是做标记),对于以后的区间,缺树我们就中树,不缺就继续遍历下一个空间。。。。

具体步骤

  1. 对区间排序
  2. 对每个区间依次处理

    1.从前往后在当前区间中已经有的树(标记)的数量

    2.若树(标记)的数量小于要当前区间要求种植的数量,从后往前种植树(做标记)
 3.输入ans

题解

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxm = 30005;
int n,m; struct Edge
{
int u,v,w;
bool operator <(const Edge& a) const
{
if(v == a.v)
return u > a.u;
return v < a.v;
}
} edge[maxm]; int area[maxm]; int main()
{
ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0);
//freopen("T.txt","r",stdin);
cin >> n >> m;
for(int i = 0; i < m; i ++)
cin >> edge[i].u >> edge[i].v >> edge[i].w;
sort(edge, edge + m);
int u,v,w;
int ans = 0;
for(int i = 0; i < m; i ++)
{
int cnt = 0;
u = edge[i].u; v = edge[i].v; w = edge[i].w;
//cnt统计已有的标记的个数
for(int j = u; j <= v; j ++) if(area[j]) cnt ++;
//在区域的尾部添加数
for(int j = v; j >= u; j --)
{
if(cnt >= w)
break;
if(! area[j])
{
area[j] = 1;
cnt ++;
ans ++;
}
}
}
cout << ans << endl; return 0;
}

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