图论中最优树问题的LINGO求解

树：连通且不含圈的无向图称为树。常用T表示。树中的边称为树枝，树中度为1的顶点称为树叶。

生成树：若T是包含图G的全部顶点的子图，它又是树，则称T是G的生成树。

最小生成树：设T=(V,E1)是赋权图G=(V,E)的一棵生成树，称T中全部边上的权数之和为生成树的权，记为w(T)，即w(T)=Σw(e)。如果生成树T*的权w(T*)是G的所有生成树的权最小者，则称T*是G的最优树，即w(T*)=Σmin{w(T)}.

在许多实际问题中，如在许多城市间建立公路网、输电网或通信网，都可以归结为赋权图的最优树问题。

图论中最有树的求解方法通常有两种算法：

Krukal算法和Prim算法

这里利用LINGO求解最优树。

问题1 有10个城镇，城镇1处有一条河流，现需要从各城镇之间铺设管道，使城镇1处的水可以输送到个城镇，求铺设管道最少的设计方式。

!最优树的LINGO程序;
model:
sets:
point/1..10/:u;
link(point,point):d,x;
endsets
data:
!各城镇之间的距离;
d=0,8,5,9,12,14,12,16,17,22,
  8,0,9,15,16,8,11,18,14,22,
  5,9,0,7,9,11,7,12,12,17,
  9,15,7,0,3,17,10,7,15,15,
  12,16,9,3,0,8,10,6,15,15,
  14,8,11,17,8,0,9,14,8,16,
  12,11,7,10,10,9,0,8,6,11,
  16,18,12,7,6,14,8,0,11,11,
  17,14,12,25,15,8,6,11,0,10,
  22,22,17,15,15,16,11,11,10,0;
@text()=@writefor(link(i,j)|x(i,j)#GT#0:'x(',i,',',j,')=',x(i,j),'');
enddata
min=@sum(link(i,j)|i#ne#j:d(i,j)*x(i,j));
n=@size(point);
@sum(point(j)|j#gt#1:x(1,j))>=1;
@for(point(i)|i#ne#1:@sum(point(j)|j#ne#i:x(j,i))=1);
@for(link(i,j):@BIN(x(i,j)));
@for(link(i,j)|i#ne#j:u(i)-u(j)+n*x(i,j)<=n-1);!不构成圈;
end

　　结果为：

x(1,2)=1 x(1,3)=1 x(3,4)=1 x(3,7)=1 x(4,5)=1 x(5,6)=1 x(5,8)=1 x(7,9)=1 x(9,10)=1

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