[luogu3706]硬币游戏

（可以参考洛谷4548，推导过程较为省略）

定义$g_{i}$表示随机$i$次后未出现给定字符串的概率，$f_{k,i}$表示随机$i$次后恰好出现$s_{k}$（指第$k$个字符串）的概率，设两者的生成函数分别为$G(x)$和$F_{k}(x)$

同样，考虑如何去表示$P(前i个字符中未出现给定字符串且最后m个字符为s_{t})$：

1.通过$g_{i}$，此时即为$\frac{g_{i}}{2^{m}}$；

2.通过$f_{k,i}$（注意虽然最后$m$个字符为$s_{t}$，但可能之前$s_{k}$出现了），枚举第一个出现$s_{k}$的位置$i+j$（右端点），同时必然要有$s_{t}$的前$j$个字符等于$s_{k}$末尾$j$个字符，此时转移的系数为$\frac{1}{2^{m-j}}$

记$S_{t,k}=\{j|s_{t}[0,j)=s_{k}[m-j,m)\}$，两者相等即$\forall 1\le t\le n,\frac{g_{i}}{2^{m}}=\sum_{k=1}^{n}\sum_{j\in S_{t,k}}\frac{f_{k,i+j}}{2^{m-j}}$，写成生成函数的形式即$\forall 1\le t\le n,G(x)=\sum_{k=1}^{n}\sum_{j\in S_{t,k}}\frac{2^{j}F_{k}(x)}{x^{j}}$

关于$S_{i,j}$的计算可以使用AC自动机或哈希，复杂度为$o(n^{2}m)$（虽然AC自动机可以$o(nm)$构建，但枚举$j$还是要$o(n^{2}m)$的）

答案即求$F_{k}(1)$，代入$x=1$后可以得到$n$个等式，但同时新增$G(1)$，再利用$\sum_{k=1}^{n}F_{k}(1)=1$就是恰好$n+1$个等式和变量，高斯消元即可，时间复杂度为$o(n^{3})$

（代码中的写法是以$G(1)$为常数去表示$F_{k}(1)$，再累加求出$G(1)$）

（另外精度问题很是神奇，可能数据中$n$和$m$的并不太大？）

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define N 305
 4 #define eps 1e-10
 5 vector<int>v[N];
 6 queue<int>q;
 7 int V,n,m,nex[N*N],len[N*N],ch[N*N][31];
 8 double sum,mi[N],vis[N*N],a[N][N],ans[N];
 9 char s[N];
10 void add(int p){
11     int k=1;
12     for(int i=0;i<m;i++){
13         if (!ch[k][(s[i]=='T')]){
14             ch[k][(s[i]=='T')]=++V;
15             len[V]=len[k]+1;
16         }
17         k=ch[k][(s[i]=='T')];
18         v[p].push_back(k);
19     }
20 }
21 void build(){
22     nex[1]=1;
23     for(int i=0;i<2;i++)
24         if (ch[1][i]){
25             nex[ch[1][i]]=1;
26             q.push(ch[1][i]);
27         }
28     while (!q.empty()){
29         int k=q.front();
30         q.pop();
31         for(int i=0;i<2;i++)
32             if (ch[k][i]){
33                 int j=nex[k];
34                 while ((j>1)&&(!ch[j][i]))j=nex[j];
35                 if (ch[j][i])j=ch[j][i];
36                 nex[ch[k][i]]=j;
37                 q.push(ch[k][i]);
38             }
39     }
40 }
41 void guess(){
42     for(int i=1;i<=n;i++){
43         int t=-1;
44         for(int j=i;j<=n;j++)
45             if (abs(a[i][j])>=eps){
46                 t=j;
47                 break;
48             }
49         for(int j=i;j<=n;j++)swap(a[i][j],a[t][j]);
50         double s=a[i][i];
51         for(int j=i;j<=n+1;j++)a[i][j]/=s;
52         for(int j=i+1;j<=n;j++){
53             double s=a[j][i];
54             for(int k=i;k<=n+1;k++)a[j][k]-=s*a[i][k];
55         }
56     }
57     for(int i=n;i;i--){
58         ans[i]=a[i][n+1];
59         for(int j=1;j<i;j++){
60             a[j][n+1]-=ans[i]*a[j][i];
61             a[j][i]=0;
62         }
63     }
64 }
65 int main(){
66     scanf("%d%d",&n,&m);
67     V=1;
68     for(int i=1;i<=n;i++){
69         scanf("%s",s);
70         add(i);
71     }
72     build();
73     mi[0]=1;
74     for(int i=1;i<=m;i++)mi[i]=mi[i-1]*2;
75     for(int i=1;i<=n;i++){
76         for(int j=0;j<m;j++)vis[v[i][j]]=mi[j];
77         a[i][n+1]=1;
78         for(int j=1;j<=n;j++)
79             for(int k=v[j].back();k>1;k=nex[k])a[i][j]+=vis[k];
80         for(int j=0;j<m;j++)vis[v[i][j]]=0;
81     }
82     guess();
83     for(int i=1;i<=n;i++)sum+=ans[i];
84     for(int i=1;i<=n;i++)printf("%.6f\n",ans[i]/sum);
85 }