[cf10E]Greedy Change

对于$w$的表示方案，可以用序列描述，即$x_{i}$表示第$i$种货币的数量

贪心策略得到的方案即是（对应序列）字典序最大的方案，并定义最优策略得到的方案为在最小化货币总数的基础上，（对应序列）字典序最大的方案

记$g_{w}$和$f_{w}$分别为贪心和最优策略下$w$的表示方案，问题即求最小的$w$满足$\sum_{i=1}^{n}g_{w,i}>\sum_{i=1}^{n}f_{w,i}$

（以下方案比较均按照字典序，性质1-4均比较显然，可以简单思考后跳过证明）

性质1：$\forall w_{1}<w_{2},g_{w_{1}}<g_{w_{2}}$

反证法，若$g_{w_{1}}\ge g_{w_{2}}$，构造$g'$为在$g_{w_{1}}$的方案再选择$w_{2}-w_{1}$个$a_{n}=1$，显然$g'$也是$w_{2}$的一种表示方案且$g'>g_{w_{1}}\ge g_{w_{2}}$，与贪心策略（字典序的最大性）矛盾

性质2：记答案为$s$，则$\forall 0\le w<s,g_{w}=f_{w}$

根据最优策略和$s$的最小性，有$\forall 0\le w<s,\sum_{i=1}^{n}g_{w,i}=\sum_{i=1}^{n}f_{w,i}$，即$g_{w}$取到了货币总数的最小值，那么根据最优策略（字典序的最大性）知$g_{w}\le f_{w}$

另一方面，根据贪心策略知$g_{w}\ge f_{w}$，结合两者即得证

性质3：若$g/f_{w,i}\ne 0$，则$g/f_{w-a_{i}}$必然是$g/f_{w}$的方案再去掉一个$a_{i}$

（不妨以$g$为例，$f$可以类似证明）

构造$g'$为$g_{w}$的方案再去掉一个$a_{i}$，若$g'\ne g_{w-a_{i}}$，根据贪心策略知$g'<g_{w-a_{i}}$

再在两者的方案中同时选择一个$a_{i}$，前者显然变为$g_{w}$，又与贪心策略矛盾

性质4：$\forall 1\le i\le n$，$g_{s,i}$和$f_{s,i}$不同时非0

反证法，若存在$i$使得$g_{s,i},f_{s,i}$均非0，任取其中一个$i$

根据性质2，有$g_{s-a_{i}}=f_{s-a_{i}}$，进而$\sum_{i=1}^{n}g_{s-a_{i},i}=\sum_{i=1}^{n}f_{s-a_{i},i}$

又根据性质3，有$\sum_{i=1}^{n}g/f_{s-a_{i},i}=\sum_{i=1}^{n}g/f_{s,i}-1$

其中左式两者相等，而右式两者不等（根据$s$的定义），矛盾

令$x$和$y$分别为$f_{s}$第一个和最后一个非0的位置（显然存在），则有以下性质——

性质5：$x\ge 2,s\ge a_{x-1}$且$s-a_{y}<a_{x-1}$

关于前者（指$x\ge 2,s\ge a_{x-1}$），若不满足显然$g_{s,x}\ne 0$，与性质4矛盾

关于后者，根据性质2，有$f_{s-a_{y}}=g_{s-a_{y}}$，而前者是$f_{s}$的方案中再去掉一个$a_{y}$，那么$1,2,...,x-1$也均为0，而如果$s-a_{y}\ge a_{x-1}$显然后者$1,2,...,x-1$中存在非0位，矛盾

结论：$\forall x\le i<y,f_{s,i}=g_{a_{x-1}-1,i}$且$f_{s,y}=g_{a_{x-1}-1,y}+1$

根据性质1和2，有$f_{s-a_{x}}=g_{s-a_{x}}>g_{a_{x-1}-1-a_{x}}$

根据性质3，两者分别是$f_{s}$和$g_{a_{x-1}-1}$的方案再去掉一个$a_{x}$（注意$a_{x-1}-1\ge a_{x}$），进而在两者的方案中同时选择一个$a_{x}$，即得到$f_{s}>g_{a_{x-1}-1}$

另一方面，同样根据性质1和2，有$f_{s-a_{y}}=g_{s-a_{y}}\le g_{a_{x-1}-1}<f_{s}$

同样根据性质3，$f_{s-a_{y}}$是$f_{s}$的方案中再去掉一个$a_{y}$，而字典序因此变化，显然结论成立

根据此结论，显然$f_{w}$被$x,y$唯一确定（其余位置均为0），枚举$x,y$并求出$f_{w}$，进而求出$w$和$g_{w}$并比较两者的货币数即可（注意这里并不保证求出的$f_{w}$是最优的，但在答案处是最优的，且比答案小的最优方案都不比$g_{w}$优，该方案显然也不能比$g_{w}$优）

贪心策略的方案容易$o(n)$求出，总复杂度为$o(n^{3})$，可以通过

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define N 405
 4 int n,ans,a[N],f[N];
 5 void check(){
 6     int cnt=0,sum=0;
 7     for(int i=1;i<=n;i++)cnt+=f[i],sum+=f[i]*a[i];
 8     for(int i=1,s=sum;i<=n;i++)cnt-=s/a[i],s%=a[i];
 9     if (cnt<0)ans=min(ans,sum);
10 }
11 int main(){
12     scanf("%d",&n);
13     for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
14     ans=2e9;
15     for(int i=1;i<=n;i++){
16         memset(f,0,sizeof(f));
17         for(int j=i,s=a[i-1]-1;j<=n;j++){
18             f[j]=s/a[j],s%=a[j];
19             f[j]++,check(),f[j]--;
20         }
21     }
22     if (ans==2e9)ans=-1;
23     printf("%d\n",ans);
24     return 0;
25 }