关于 Binomial Coefficient is Fun

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Solution

应该这个做法不是很常见吧。

我们设 \(f_{i,j}\) 表示前面 \(i\) 个数，选出的数和为 \(j\) 的贡献之和。因为我们有以下式子：

\[\sum_{i=a}^{b} \binom{i}{a}=\binom{b+1}{a+1}
\]

所以，我们可以得到转移式：

\[f_{i,j}=\sum_{k} f_{i-1,k}\times \binom{j-k+1}{a_i+1}
\]

然后，我们假设设：

\[F_i(x)=\sum_{j=1}^{\infty} \binom{j}{a_i+1}x^{j-1}
\]

那么，我们就可以看出实际上 \(\prod_{i=1}^{n} F_i(x)\) 就是 \(f_{n,1},f_{n,2},...,f_{n,\infty}\) 的普通型生成函数。

于是，我们只需要求出 \(F_i(x)\) 的式子就好了。

我们可以得到如下推导：

设 \(S=\sum_{i=1}^{\infty} \binom{i}{a}x^{i}\)

则有：

\[S=x^a\sum_{i=0}^{\infty} \binom{i+a}{i}x^i
\]

\[\Rightarrow S=x^a\sum_{i=0}^{\infty} \binom{-a-1}{i}(-x)^i
\]

\[\Rightarrow S=x^a(1-x)^{-a-1}=x^a\frac{1}{(1-x)^{a+1}}
\]

所以，我们可以得到：

\[F_i(x)=x^{a_i}\frac{1}{(1-x)^{a_i+1}}
\]

那么，我们设 \(s=\sum_{i=1}^{n} a_i\)，那么我们就可以得到：

\[\prod_{i=1}^{n} F_i(x)=x^{s}\frac{1}{(1-x)^{s+n}}
\]

那么这个多项式的第 \(i\) 项的系数就是 \(\binom{i+n-1}{n+s-1}\)。

那么，答案就是：

\[\sum_{i=0}^{m} \binom{i+n-1}{n+s-1}
\]

\[=\binom{n+m}{n+s}
\]