Solution -「ARC 124E」Pass to Next

\(\mathcal{Description}\)

  Link.

  有 \(n\) 个人站成一个环，初始时第 \(i\) 个人手里有 \(a_i\) 个球。第 \(i\) 个人可以将自己手中任意数量的求给第 \(i+1\) 个人，第 \(n\) 个人则可以给第 \(1\) 个人。设所有人同时进行一次传球后，第 \(i\) 个人手里有 \(b_i\) 个球，并令 \(B\) 为所有可能的 \(\lang b_n\rang\) 构成的集合，求

\[ \sum_{\lang b_n \rang\in B}\prod_{x\in\lang b_n \rang}x \pmod{998244353}.
\]

  \(n\le10^5\)。

\(\mathcal{Solution}\)

  首先有一个明显而重要的结论：存在某个人没有给别人球的传球方案一一对应了所有可能的 \(\lang b_n\rang\)。

  方法一 从暴力 DP 入手。枚举最小的 \(i=x\)，使得 \(x\) 没有向 \(x+1\) 传球，此时令 \(f(i,j)\) 表示第 \(i\) 个人给出 \(j\) 个球时，\(x+1\sim i\) 这一段人的 \(b\) 值的乘积之和。转移时记得讨论当前的 \(i\) 能否不给下一个人球。

  写出转移式，似乎很难优化。这时不妨想一想，DP 欲求得的目标是什么？ 是 \(f(i,j)\)？并不，应是 \(\sum_j f(i,j)\)。回头看一眼转移，发现我们能直接将转移施加在 \(\sum_j f(i,j)\) 上，状态中的 \(j\) 根本不需要！

  下一步优化比较简单：两种情况的转移均能写成 \(2\times2\) 的矩阵，求一求前缀积之类的就内求出答案了。复杂度 \(\mathcal O(n)\)。

---

  方法二 从组合意义入手。\(\prod b_i\) 即传完求后，每个人再从手里的球里选出一个的方案数。那么令 \(f(i,0/1)\) 表示考虑了前 \(i\) 个人，第 \(i\) 个人选出的球来自前一个人/自己，讨论转移。通过钦定第 \(1\) 个人所选出的球破环求解。复杂度 \(\mathcal O(n)\)。（我没实现所以讲得比较糊 www。

\(\mathcal{Code}\)

  只有方法一的代码呢。

/*-Rainybunny-*/

#include <bits/stdc++.h>

#define rep( i, l, r ) for ( int i = l, rep##i = r; i <= rep##i; ++i )
#define per( i, r, l ) for ( int i = r, per##i = l; i >= per##i; --i )

const int MAXN = 1e6, MOD = 998244353, INV2 = 499122177, INV3 = 332748118;
int n, a[MAXN + 5];

inline int mul( const int u, const int v ) { return 1ll * u * v % MOD; }
inline int sub( int u, const int v ) { return ( u -= v ) < 0 ? u + MOD : u; }
inline int add( int u, const int v ) { return ( u += v ) < MOD ? u : u - MOD; }

struct Matrix {
    int a, b, c, d;
    friend inline Matrix operator * ( const Matrix& u, const Matrix& v ) {
        return { add( mul( u.a, v.a ), mul( u.b, v.c ) ),
          add( mul( u.a, v.b ), mul( u.b, v.d ) ),
          add( mul( u.c, v.a ), mul( u.d, v.c ) ),
          add( mul( u.c, v.b ), mul( u.d, v.d ) ) };
    }
} pre[MAXN + 5], suf[MAXN + 5];

inline Matrix getTrans( const int i, const bool type ) {
    int tmp = mul( mul( a[i], a[i] + 1 ), INV2 );
    if ( !type ) {
        return { tmp, a[i] + 1,
          mul( sub( a[i], mul( add( a[i], a[i] ) + 1, INV3 ) ), tmp ), tmp };
    } else {
        return { sub( mul( a[i], a[i] ), tmp ), a[i],
          mul( sub( a[i], mul( add( a[i], a[i] ) + 1, INV3 ) ), tmp ), tmp };
    }
}

int main() {
    // freopen( "y.in", "r", stdin );
    // freopen( "y.out", "w", stdout );
    std::ios::sync_with_stdio( false ), std::cin.tie( 0 );

    std::cin >> n;
    rep ( i, 1, n ) std::cin >> a[i];

    pre[0] = { 1, 0, 0, 1 };
    rep ( i, 1, n ) pre[i] = getTrans( i, 1 ) * pre[i - 1];
    suf[n + 1] = { 1, 0, 0, 1 };
    per ( i, n, 1 ) suf[i] = suf[i + 1] * getTrans( i, 0 );

    int ans = 0;
    rep ( i, 1, n ) { // i won't give i+1 any ball.
        Matrix&& tmp( pre[i - 1] * suf[i + 1] );
        ans = add( ans, add( mul( a[i], tmp.a ), tmp.c ) );
    }
    std::cout << ans << '\n';
    return 0;
}