Solution -「CF 917D」Stranger Trees

\(\mathcal{Description}\)

  Link.

  给定一棵包含 \(n\) 个点的有标号树，求与这棵树重合恰好 \(0,1,\cdots,n-1\) 条边的树的个数，对 \(10^9+7\) 取模。

  \(n\le100\)。

\(\mathcal{Solution}\)

\(\mathcal{Case~1}\)

  考虑把“是否是原树上的边”看做一种权值，相当于求完全图的生成树。具体地，令完全图中，原树有的边的权值为 \(1\)，否则为 \(x\)，用多项式暴力维护求行列式，取答案的前若干项即为答案。

  \(\mathcal O(n^5)\)，原题过不了 qwq。不过可以用带入 \(x\) 再插值的方法优化为 \(\mathcal O(n^4)\)。

\(\mathcal{Case~2}\)

  尝试带着二项式反演在树上 DP 计数。若把原树分为若干个联通块，块的大小为 \(a_1,a_2,\cdots,a_m\)，则把这些块连成树的方案数为

\[n^{m-2}\prod_i a_i
\]

Prufer 或 Matrix-Tree 可证。

  基于此，令 \(f(u,i,j)\) 表示 \(u\) 子树内分为 \(i\) 个联通块，其中 \(u\) 所在块的大小为 \(j\) 的方案数。自然得到一个 \(\mathcal O(n^3)\) 的转移。

  继续优化，考虑 \(\prod_ia_i\) 的组合意义——在每个块内选一个关键点。所以可以设 \(f(u,i,0/1)\) 表示 \(u\) 子树内分为 \(i\) 个联通块，其中 \(u\) 所在联通块是否已选关键点时的方案数。\(\mathcal O(n^3)\) 转移。

  最后，\(f(\textit{root},k,1)\) 即表示钦定新树与原树重合某 \(n-k\) 条边的方案数，记为 \(g(n-k)\)。令 \(i\) 的答案为 \(h(i)\)，则 \(g\) 与 \(h\) 构成反演关系：

\[g(k)=\sum_{j\ge k}\binom{j}{k}h(j)
\]

所以有

\[h(k)=\sum_{j\ge k}(-1)^{j-k}\binom{j}{k}g(j)
\]

  以上，\(\mathcal O(n^2)\) 即可求出答案。

\(\mathcal{Code}\)

/* Clearink */

#include <cstdio>

#define rep( i, l, r ) for ( int i = l, repEnd##i = r; i <= repEnd##i; ++i )
#define per( i, r, l ) for ( int i = r, repEnd##i = l; i >= repEnd##i; --i )

const int MAXN = 100, MOD = 1e9 + 7;
int n, ecnt, head[MAXN + 5], comb[MAXN + 5][MAXN + 5];
int siz[MAXN + 5], f[MAXN + 5][MAXN + 5][2], g[MAXN + 5];
struct Edge { int to, nxt; } graph[MAXN * 2 + 5];

inline int mul( const long long a, const int b ) { return a * b % MOD; }
inline int sub( int a, const int b ) { return ( a -= b ) < 0 ? a + MOD : a; }
inline void subeq( int& a, const int b ) { ( a -= b ) < 0 && ( a += MOD ); }
inline int add( int a, const int b ) { return ( a += b ) < MOD ? a : a - MOD; }
inline void addeq( int& a, const int b ) { ( a += b ) >= MOD && ( a -= MOD ); }
inline int mpow( int a, int b ) {
	int ret = 1;
	for ( ; b; a = mul( a, a ), b >>= 1 ) ret = mul( ret, b & 1 ? a : 1 );
	return ret;
}

inline void link( const int u, const int v ) {
	graph[++ecnt] = { v, head[u] }, head[u] = ecnt;
	graph[++ecnt] = { u, head[v] }, head[v] = ecnt;
}

inline void initC() {
	comb[0][0] = 1;
	rep ( i, 1, n ) {
		comb[i][0] = 1;
		rep ( j, 1, i ) comb[i][j] = add( comb[i - 1][j - 1], comb[i - 1][j] );
	}
}

inline void getDP( const int u, const int fa ) {
	f[u][1][0] = f[u][1][1] = siz[u] = 1;
	int tmp[MAXN + 5][2] = {}, ( *fcur )[2] = f[u];
	for ( int e = head[u], v; e; e = graph[e].nxt ) {
		if ( ( v = graph[e].to ) != fa ) {
			getDP( v, u );
			int ( *fsub )[2] = f[v];
			rep ( i, 1, siz[u] ) rep ( j, 1, siz[v] ) {
				addeq( tmp[i + j][0], mul( fcur[i][0], fsub[j][1] ) );
				addeq( tmp[i + j][1], mul( fcur[i][1], fsub[j][1] ) );
				addeq( tmp[i + j - 1][0], mul( fcur[i][0], fsub[j][0] ) );
				addeq( tmp[i + j - 1][1], add( mul( fcur[i][0], fsub[j][1] ),
					mul( fcur[i][1], fsub[j][0] ) ) );
			}
			siz[u] += siz[v];
			rep ( i, 1, siz[u] ) {
				fcur[i][0] = tmp[i][0], tmp[i][0] = 0;
				fcur[i][1] = tmp[i][1], tmp[i][1] = 0;
			}
		}
	}
}

int main() {
	scanf( "%d", &n ), initC();
	for ( int i = 1, u, v; i < n; ++i ) {
		scanf( "%d %d", &u, &v );
		link( u, v );
	}
	getDP( 1, 0 );
	rep ( i, 1, n ) {
		g[n - i] = mul( f[1][i][1], i < 2 ? 1 : mpow( n, i - 2 ) );
	}
	g[n - 1] = 1;
	rep ( i, 0, n - 1 ) {
		int ans = 0;
		rep ( j, i, n - 1 ) {
			( ( j - i ) & 1 ? subeq : addeq )( ans,
				mul( comb[j][i], g[j] ) );
		}
		printf( "%d%c", ans, i < n - 1 ? ' ' : '\n' );
	}
	return 0;
}