【ybtoj】二分算法例题

【基础算法】第三章 二分算法

例一 数列分段

题目描述

对于给定的一个长度为N的正整数数列A，现在将其分成M段，并要求每段连续，且每段和的最大值最小。

输入格式

第1行包含两个正整数N,M。

第2行包含N个空格隔开的非负整数A。

输出格式

仅包含一个正整数，即每段和最大值最小为多少。

样例输入

  5 3
  4 2 4 5 1

样例输出

6

分析

题中出现类似“最大值最小”的含义，这是答案具有单调性的最常见、最典型 的特征之一。设最优解为S，因为S的最优性如果要求每段和可以>S，那么一定存在一种划分方案使得总段数不超过M。因此答案就处于分段可行性的分界点上。

样例代码

bool check(int limit){
	int cnt=1;sum=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(sum+a[i]<=n;i++){
			sum+=a[i];
		}
		else cnt++,sum=a[i];
	}
	return cnt<=m;
}

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,a[100005],l,r,mid,ans; 

bool check(int x){
   int sum=0,num=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(sum+a[i]<=x)
			sum+=a[i];
        else sum=a[i],num++;
    }
    return num>=m;
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>a[i],l=max(l,a[i]),r+=a[i];
    while(l<=r){
        mid=l+r>>1;
        if(check(mid))
	  l=mid+1;
        else
	  r=mid-1;
    }
    cout<<l;
    return 0;
}

例二 防具布置

题目描述

现在有N组防具。 我们可以认为防线是一维的，那么每一组防具都分布在防线的某一段上，并且同一组防具是等距离排列的。 也就是说，我们可以用三个整数 和 来描述一组防具，即这一组防具布置在防线的S,S+D,S+2D...S+KD位置上。 若一个位置上的防具数量为奇数，则我们称这个位置有破绽，但是整个防线上有且仅有一个位置有破绽或根本没有破绽。请你求出破绽的位置，或是确定防线没有破绽。

输入格式

第一行是一个整数T，表示有T组互相独立的测试数据。

每组数据的第一行是一个整数N。

之后N行，每行三个整数S,E,D，代表第i组防具的三个参数，数据用空格隔开。

输出格式

对于每组测试数据，如果防线没有破绽，输出一行 There's no weakness.。

否则在一行内输出两个空格分隔的整数P和C，表示在P位置 有C个防具。当然C应该是奇数。

样例输入

  3
  2
  1 10 1
  2 10 1
  2
  1 10 1
  1 10 1
  4
  1 10 1
  4 4 1
  1 5 1
  6 10 1

样例输出

1 1

There's no weakness.

4 3

分析

首先，若S（2^(31)-1）为偶数，则整道防线没有破绽。

否则，设破绽的位置为P，故只有P上有奇数个防具，其他位置上都有偶数个，则对于x<p,S(x)均为偶数，对于x>=P,S(x)均为奇数。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define N 200010
using namespace std;
int T, n;
long long s[N], e[N], d[N], l, r, mid, ans;

long long f(long long x){
	long long sum=0;
	for (int i=1;i<=n;i++)
	  if (s[i]<=x)
	  	sum+=(min(x,e[i])-s[i])/d[i]+1;
	return sum;
}
void work ()
{
	cin>>n;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	  cin>>s[i]>>e[i]>>d[i];
	if (f((long long)2147483647)%2==0){
		printf("There's no weakness.\n");
		return;
	}
	l=ans=1,r=(long long)2147483647;
	while (l < r)
	{
		mid = (l + r) / 2;
		if (f(mid) % 2 == 1) r = mid;
		else l=mid+1;
	}
	cout<<r<<" "<<f(r)-f(r-1)<<endl;
}

int main()
{
	cin>>T;
	while(T--)
		work ();
	return 0;
}

例三 最大均值

题目描述

给定正整数序列A，求一个平均数最大的，长度不小于L的（连续的）子段。

输入格式

第一行两个整数N和L。

接下来N行，每行输入一个正整数A。

输出格式

输出一个整数，表示平均值的最大值乘以1000再向下取整之后得到的结果。

样例输入

  10 6
  6
  4
  2
  10
  3
  8
  5
  9
  4
  1

样例输出

6500

分析

注意到答案具有单调性，考虑二分答案，判定“是否存在一个长度不小于L的子段，平均值不小于mid”。

如果把序列里每个数都减去二分的值，就进一步转化为“是否存在一个长度不小于L的子段，子段和非负”。

然后只需要检查一下最大子段和是否为非负数，就可以确定二分上下界的变化范围了。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double N=1e-5;
int n,L;
double a[100004],b[100004],sum[100004];
bool check(double num){
	for(int i=1;i<=n;i++)
		b[i]=a[i]-num;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		sum[i]=sum[i-1]+b[i];
	double ans=-1e10;
	double v=1e10;
	for(int i=L;i<=n;i++){
		v=min(v,sum[i-L]);
		ans=max(ans,sum[i]-v);

	}
	return ans>=0;
}
int main(){
	double l=-1e6,r=1e6;
	cin>>n>>L;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>a[i];
	while(l+N<r){
		double mid=(l+r)/2;
		if(check(mid))
			l=mid;
		else r=mid;
	}

	cout<<int (r*1000)<<endl;
}