Codeforces - 9D - How many trees? - 简单dp - 组合数学

https://codeforces.com/problemset/problem/9/D

一开始居然还想直接找公式的，想了想还是放弃了。原来这种结构是要动态规划。

状态是知道怎么设了，$t_{nh}$ 表示节点数为n个，树高为h的BST的个数。

为什么要这么设状态呢？是考虑到题目关心BST的高度，而且BST具有递归性。

但是这个关键就是要加上n个节点的标记，因为不同节点数量明显可以构造出的高为h的树不同，而且也会影响BST另一侧的构造。

所以说设对状态就做对了一半。

思路就是按高为h的BST是怎么由高为 $h-1$ 的BST加上根节点转移过来的，重点是向上转移而不是向下转移。

首先你要分类讨论，这个根节点的数字是 $m$ ，那么左边会有 $1 \thicksim m-1$ 共 $m-1$ 个节点，右边则有 $n-m$ 个节点，然后分

1.左子树的高是 $h-1$ ，右子树的高是 $0 \thicksim h-1$ （假如可以放得下的话）。

2.右子树的高是 $h-1$ ，左子树的高是 $0 \thicksim h-2$ （注意是h-2，否则和上面重复）

左右子树的构造是独立的，所以相乘。两种情况的分类的，所以相加。

最后遍历一遍 $m$ 得到所有 $t_{nh}$ 的和。

最后在自己做的时候，犯了几个小问题，首先就是 $m$ 的意思，定义中是指 $root$ 的值，写的时候变成的左子树的节点数，所以挂了。其次是 $t_{11}$ 虽然是平凡情况但是我用 $+=$ 运算的话会出毛病。第三是题目要求的是高度不小于 $h$ 的 $n$ 节点BST的总数，那么应该是 $sum(n,maxh=n)-sum(n,maxh=h-1)$ 。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long

unsigned ll t[][]={};

unsigned ll sum(int n,int maxh){
    unsigned ll res=;
    for(int i=;i<=maxh;i++){
        res+=t[n][i];
    }
    //printf("sum(t[n=%d][maxh=%d])=%llu\n",n,maxh,res);
    return res;
}

int n,h;
void solve(){
    t[][]=;
    //空树也是1种情况，因为要算乘法
    for(int i=;i<=n;i++){
        t[i][]=;
        t[][i]=;
        //这两种树不可能构造
    }

    for(int ni=;ni<=n;ni++){
        for(int hi=;hi<=n;hi++){
            if(ni<hi)
                continue;
            for(int m=;m<=ni;m++){
                t[ni][hi]+=t[m-][hi-]*sum(ni-m,hi-);

                //printf("t[%d][%d]+=%llu*%llu\n",ni,hi,t[m-1][hi-1],sum(ni-m,hi-1));
                t[ni][hi]+=sum(m-,hi-)*t[ni-m][hi-];
            }
            //printf("t[%d][%d]=%llu\n",ni,hi,t[ni][hi]);
        }
    }
}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&h);
    solve();
    unsigned ll ans=;
    ans=sum(n,n)-sum(n,h-);
    printf("%llu\n",ans);
}