51nod1026 矩阵中不重复的元素 V2

$n \leq 500000,m \leq 500000$的矩阵，第一行第一列是$a^b,2 \leq a,b \leq 500000$，如果一个数是$i^j$那他右边是$i^{j+1}$，下面是${i+1}^{j}$，问这个矩阵里有多少不同的数字。

把数字化成“基”来统筹统计一些重复情况。意思就是：$a=\prod_{i=1}^{k}p_i^{b_i}$，其中$gcd(b_1,b_2,...,b_k)=1$，那么这些$a$就可以当基，他的若干次幂在比他小的行中一定不会出现，而他的平方，三次方，这些行可能会跟他有部分重复。因此这些行单独拿出来考虑。可以看一下次数：

$a^{1*1} \ \ a^{1*2} \ \ a^{1*3}...$

$a^{2*1} \ \ a^{2*2} \ \ a^{2*3}...$

$a^{3*1} \ \ a^{3*2} \ \ a^{3*3}...$

如此，只需要在这样的矩形里的一段连续行中去重就可以了。一次考虑一个记，元素总数是$log_an*m$的，但总的元素总数仍是$n*m$的。

可以观察到，随着基变大，这个抽象出来的矩形的连续行（叫$[L,R]$）的$L$和$R$都会变小。而这个矩形的数字范围只有$mlogn$，可以开个桶来算每次多出或损失的行。总复杂度变成这个矩形的元素总数$mlogn$。

V3暂时不会QAQ是用容斥的观点进行搜索+剪枝的，希望能回来填坑。

 //#include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 //#include<time.h>
 //#include<complex>
 //#include<set>
 #include<queue>
 //#include<vector>
 #include<algorithm>
 #include<stdlib.h>
 using namespace std;

 #define LL long long
 int qread()
 {
     char c; int s=,f=; while ((c=getchar())<'' || c>'') (c=='-') && (f=-);
     do s=s*+c-''; while ((c=getchar())>='' && c<=''); return s*f;
 }

 //Pay attention to '-' , LL and double of qread!!!!

 int n,m,a,b;
 #define maxn 1000011
 #define maxm 10000011

 //int prime[maxn],lp,xx[maxn]; bool notprime[maxn];
 //void makeprime(int n)
 //{
 //    lp=0;
 //    for (int i=2;i<=n;i++)
 //    {
 //        if (!notprime[i]) {prime[++lp]=i; xx[i]=i;}
 //        for (int tmp,j=1;j<=lp && 1ll*i*prime[j]<=n;j++)
 //        {
 //            notprime[tmp=i*prime[j]]=1; xx[tmp]=prime[j];
 //            if (!(i%prime[j])) break;
 //        }
 //    }
 //}

 int cnt[maxm]; bool vis[maxn];
 int main()
 {
     m=qread(); n=qread(); a=qread(); b=qread(); int N=a+n-,M=b+m-;
 //    makeprime(a+n);

     int L=,R=; while ((<<L)<a) vis[<<L]=,L++; while ((<<R)>N) R--;
 //    cout<<L<<' '<<R<<endl;
     for (int i=L;i<=R;i++) vis[<<i]=;
     LL ans=; int now=;
     for (int j=L,tmp;j<=R;j++)
         for (int k=b;k<=M;k++)
         {
             if (cnt[tmp=j*k]==) now++;
             cnt[tmp]++;
         }
     ans+=now;
     for (int i=;i<=N;i++) if (!vis[i])
     {
         int nl=,nr=; LL tmp=;
         for (;tmp<a;tmp*=i,nl++) vis[tmp]=;
         nr=nl; for (;tmp<=N;tmp*=i,nr++) vis[tmp]=; nr--;
 //        cout<<nl<<' '<<nr<<endl;
         for (int j=L-;j>=nl;j--)
             for (int k=b;k<=M;k++)
             {
                 if (cnt[tmp=j*k]==) now++;
                 cnt[tmp]++;
             }
         L=nl;
         for (int j=R;j>nr;j--)
             for (int k=b;k<=M;k++)
             {
                 cnt[tmp=j*k]--;
                 if (cnt[tmp]==) now--;
             }
         R=nr;
         ans+=now;
     }
     printf("%lld\n",ans);
     return ;
 }