一模 （6） day2

第一题：

题目大意：求最长公共上升子序列（LICS）；

解题过程：

1.一开始想到模仿求最长公共子序列的方法，F[i][j]表示A串前i个，B串前j个的最长公共子序列，很明显当A[i]！= B[j]时，F[i][j]=max (F[i-1][j] , F[i][j-1]);

当A[i] = B[j] 的时候，由于还要满足上升的条件，那么就保存一个S[i][j]表示F[i][j]对应的最长公共上升子序列的末尾的最小值。那么F[i][j]=F[i-1][j-1]+1 (S[i-1][j-1]<A[i]);

再和max (F[i-1][j] , F[i][j-1])比较一下就好，转移的时候带上S[i][j]。。但是考虑到如果S[i-1][j-1]>A[i]，我们虽然不能把A[i]连上去，但是可以用A[i]去替代F[i-1][j-1]对应的最长公共上升子序列中的字母。。  然后我就傻逼的直接s[i-1][j-1]=A[i] 了。WA 6 个点。

2.正解：F[i][j]表示A串前i个，B串前j个且以B[j]结尾的最长公共子序列。。很明显：

当A[i]！= B[j]时，F[i][j]=F[i-1][j];

当A[i] = B[j]时，需要往前找到一个F[i-1][k]，满足B[k]<B[j], 加1之后可以转移到F[i][j]; 所以 F[i][j]=max (F[i-1][k]+1)  (1<=k<j &&  B[k]<B[j]);

这样的复杂度是（NM^2）的，需要优化：

在计算F[i][j]的时候，维护一个max， 表示max（F[i-1][k]） (1<=k<=j  && B[j]<A[i]), 那么在计算到F[i][j'] (j'>j) 并且 A[i] = B[j']时，max的值就是max(F[i-1][k])；

具体实现看代码：

 void LICS()
 {
     for (int i=;i<=n;i++)
     {
         int ma=;
         for (int j=;j<=n;j++)
         {
             if (a[i]==b[j])
                 f[i][j]=ma+;
             else f[i][j]=f[i-][j];
             if (b[j]<a[i] && f[i-][j]>ma)
                 ma=f[i-][j];
             ans=max(ans,f[i][j]);
         }
     }
     printf("%d\n",ans);
 }

空间复杂度还可以优化到一维：

 void LICS()
 {
     for (int i=;i<=n;i++)
     {
         int ma=,tmp;
         for (int j=;j<=n;j++)
         {
             tmp=ma;
             if (b[j]<a[i] && f[j]>ma)
                 ma=f[j];
             if (a[i]==b[j])
                 f[j]=tmp+;
             ans=max(ans,f[j]);
         }
     }
     printf("%d\n",ans);
 }

第二题：

题目描述：

在一个坐标轴上，有 M 辆坦克，第 i 辆坦克在时刻 0 处于 pos[i]（pos[i]>0），移动速度为speed[i]个单位，即在时刻 k 就处于 pos[i]+speed[i]*k。原点上有一炮台。炮台有 N 颗炮弹，在时刻 0 开始就可以发射炮弹，而且发射的顺序是你来确定的，每次只能发射一颗，一颗炮弹只能用一次。每个炮弹都有一个休息时间 rest[i]，如果在某次发射了第 i 颗炮弹，要间隔 rest[i]后才能再发射。一颗炮弹只能消灭范围 D(0 到 D)内的一辆坦克。
最多能消灭多少辆坦克？

解题过程：

1.这题很快能想到贪心策略：首先rest小的炮弹肯定先打，其次跑的快的（超出范围D的时间短）坦克先打。。

2.如果担心double 精度问题，比较的时候可以把除法转换成乘法。

犯的错误：循环每个炮弹打哪个坦克的时候，碰到一个坦克不能打，我就直接break了。。其实应该往后找到第一个能打的坦克。

第三题：

题目大意：

有两种操作，操作一：把数x变成它的约数和（约数不包括它本身，且约数和比它小）。操作二：把x变成一个比它大的数y（y的约数和是x）；

给出一个N，N<=50000，限定所有的数字变换在不超过 N 的正整数范围内进行，求不断进行数字变换且没有重复数字出现的最多变换；

解题过程：

1.首先很快想到模仿筛法预处理出每个数的约数和，然后转化成图论模型（能变换的两个数连一条边），感觉会有很多限制，比如会有环，不是所有点都相互连通等情况。然后就只好直接爆搜。。貌似竟然能过7个点，因为DFS树的深度很小。

2.看了题解后说是树的最长链。。。冷静分析，发现是不可能出现环的，既然x能变成y，那么y也能变成x，那么假设x>y的时候才连一条从x到y的有向边。表示x比y大，且x能变成y，如果有环，那么从x出发又回到x，就变成x比它自己小，所以不可能。。 整个图确实是好几个连通分量，所以正解应该是在每个连通分量里求最长链。但是事实上只要在1所在的连通分量里求就能AC。。数据弱了吧。