Floyd 算法小结 

By Wine93 2013.11

1. Floyd算法简介

Floyd算法利用动态规划思想可以求出任意2点间的最短路径,时间复杂度为O(n^3),对于稠密图, 效率要高于执行|V|次Dijkstra算法.

核心代码如下:

for(k=1;k<=n;k++)

for(i=1;i<=n;i++)

for(j=1;j<=n;j++)

dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);

相关应用 : 有向图:①求任意2点间最短路径  ②求最小环(可判断负圈,检查dis[i][i])   ③求传递闭包

无向图:(无负权边): ①求任意2点间最短路径  ②求最小环

注意:对于有负权边的无向图，会出现很多意想不到的错误，请谨慎使用floyd。

2. 个人心得

对于floyd，我认为最重要的是理解k循环这层，每枚举一个k，代表下面代表的点对(i，j)之间的 最短路有可能会通过k这点而变小,也就是说在i到j的这条简单路径上插上k这个点，有可能会使路径长度变小。还有就是floyd求出来的最短路径肯定是简单路径(无向图)

关于可Floyd解的题其顶点数都比较小，根据这点会给我们一点暗示.

如果要输出floyd所求相关路径，我们可以记录mid[i][j](表示i到j这条路径中插入的点k),这样通过不断递归，就可以求出整条路径

3. Floyd算法的应用举例

(1) 求无向图最小环 

HDU 1599 find the mincost route

# include<cstdio>

# include<cstring>

# include<algorithm>

using namespace std;

# define INF <<

# define N 

int mat[N][N],dis[N][N];

int minloop;

void floyd(int n)

{

    int i,j,k;

    for(k=;k<=n;k++)

    {

        for(i=;i<=n;i++)

            for(j=;j<=n;j++)

                if(i!=j&&i!=k&&j!=k&&dis[i][j]+mat[j][k]+mat[k][i]<minloop)

                    minloop=dis[i][j]+mat[j][k]+mat[k][i];

        for(i=;i<=n;i++)

            for(j=;j<=n;j++)

                dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);

    }

}

void init(int n)

{

    int i,j;

    minloop=INF;

    for(i=;i<=n;i++)

        for(j=;j<=n;j++)

            mat[i][j]=mat[j][i]=dis[i][j]=dis[j][i]=INF;

}

int main()

{

   // freopen("in.txt","r",stdin);

    int i,n,m,u,v,w;

    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)

    {

        init(n);

        for(i=;i<=m;i++)

        {

            scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);

            if(w<mat[u][v])

                mat[u][v]=mat[v][u]=dis[u][v]=dis[v][u]=w;

        }

        floyd(n);

        if(minloop==INF) printf("It's impossible.\n");

        else printf("%d\n",minloop);

    }

    return ;

}

HDU 1599

POJ 1734 Sightseeing trip(需输出最小环)

# include<cstdio>

# include<cstring>

# include<vector>

# include<algorithm>

using namespace std;

# define pb push_back

# define INF <<

# define N 

int mat[N][N],dis[N][N],mid[N][N],minloop;

vector<int> vec;

void dfs(int l,int r)

{

    if(mid[l][r]==-) return;

    dfs(l,mid[l][r]);

    vec.pb(mid[l][r]);

    dfs(mid[l][r],r);

}

void floyd(int n)

{

    int i,j,k;

    for(k=;k<=n;k++)

    {

        for(i=;i<k;i++)

            for(j=i+;j<k;j++)

            {

                if(dis[i][j]+mat[j][k]+mat[k][i]<minloop)

                {

                    minloop=dis[i][j]+mat[j][k]+mat[k][i];

                    vec.clear();

                    vec.pb(i);

                    dfs(i,j);

                    vec.pb(j);

                    vec.pb(k);

                }

            }

        for(i=;i<=n;i++)

            for(j=;j<=n;j++)

            {

                if(dis[i][k]+dis[k][j]<dis[i][j])

                {

                    dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j];

                    mid[i][j]=k;

                }

            }

    }

}

void init(int n)

{

    int i,j;

    minloop=INF;

    for(i=;i<=n;i++)

        for(j=;j<=n;j++)

            mat[i][j]=dis[i][j]=INF,mid[i][j]=-;

    vec.clear();

}

int main()

{

    //freopen("in.txt","r",stdin);

    int i,j,n,m,u,v,w;

    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)

    {

        init(n);

        for(i=;i<=m;i++)

        {

            scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);

            if(w<mat[u][v])

                dis[u][v]=dis[v][u]=mat[u][v]=mat[v][u]=w;

        }

        floyd(n);

        if(minloop==INF)

        {

            printf("No solution.\n");

            continue;

        }

        printf("%d",vec[]);

        for(i=;i<vec.size();i++)

            printf(" %d",vec[i]);

        printf("\n");

    }

    return ;

}

POJ 1734

相关证明理解请参考下面博客，讲解的非常好:

http://www.kaixinwenda.com/article-aclion-8074848.html

(2)判断有向图是否有正环

POJ 2240 Arbitrage

# include<cstdio>

# include<cstring>

# include<string>

# include<map>

# include<algorithm>

using namespace std;

# define N

double dis[N][N];

void floyd(int n)

{

    int i,j,k;

    for(k=;k<=n;k++)

        for(i=;i<=n;i++)

            for(j=;j<=n;j++)

                dis[i][j]=max(dis[i][j],dis[i][k]*dis[k][j]);

}

void init(int n)

{

    int i,j;

    for(i=;i<=n;i++)

        for(j=;j<=n;j++)

            dis[i][j]=(i==j)?:;

}

int main()

{

 //   freopen("in.txt","r",stdin);

    map<string,int> Hash;

    int i,n,m,num,flag,cas=,u,v;

    char s1[N],s2[N];

    double d;

    while(scanf("%d",&n)!=EOF&&n)

    {

        Hash.clear();

        flag=num=;

        init(n);

        for(i=;i<=n;i++)

        {

            scanf("%s",s1);

            Hash[s1]=++num;

        }

        scanf("%d",&m);

        for(i=;i<=m;i++)

        {

            scanf("%s %lf %s",s1,&d,s2);

            u=Hash[s1];

            v=Hash[s2];

            dis[u][v]=max(dis[u][v],d);

        }

        floyd(n);

        printf("Case %d: ",cas++);

        for(i=;i<=n;i++)

            if(dis[i][i]>1.0)

            {

                flag=;

                break;

            }

        if(flag) printf("Yes\n");

        else printf("No\n");

    }

    return ;

}

POJ 2240

(3)传递闭包

POJ 3660 Cow Contest

# include<cstdio>

# include<cstring>

# include<algorithm>

using namespace std;

# define N

int f[N][N],beat[N],win[N];

void floyd(int n)

{

    int i,j,k;

    for(k=;k<=n;k++)

        for(i=;i<=n;i++)

            for(j=;j<=n;j++)

                f[i][j]|=(f[i][k]&&f[k][j]);

}

int main()

{

    int i,j,n,m,u,v,ans;

    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)

    {

        ans=;

        memset(beat,,sizeof(beat));

        memset(win,,sizeof(win));

        memset(f,,sizeof(f));

        for(i=;i<=m;i++)

        {

            scanf("%d%d",&u,&v);

            f[u][v]=;

        }

        floyd(n);

        for(i=;i<=n;i++)

        {

            for(j=;j<=n;j++)

                if(f[j][i])  //j beat i

                {

                    win[j]++;

                    beat[i]++;

                }

        }

        for(i=;i<=n;i++)

            if(win[i]+beat[i]==n-)

                ans++;

        printf("%d\n",ans);

    }

    return ;

}

POJ 3660

(4)好题推荐(独立完成)

HDU 3631 Shortest Path    //深入理解floyd

# include<cstdio>

# include<cstring>

# include<algorithm>

using namespace std;

# define INF <<

# define N 

int n,m,q;

int dis[N][N];

int mark[N];

void floyd(int k)

{

    int i,j;

    for(i=;i<n;i++)

        for(j=;j<n;j++)

            dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);

}

void init(int n)

{

    int i,j;

    memset(mark,,sizeof(mark));

    for(i=;i<n;i++)

        for(j=;j<n;j++)

            dis[i][j]=(i==j)?:INF;

}

int main()

{

    //freopen("in.txt","r",stdin);

    int i,j,u,v,w,op,cas=;

    while(scanf("%d%d%d",&n,&m,&q)!=EOF&&(n+m+q))

    {

        init(n);

        for(i=;i<=m;i++)

        {

            scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);

            dis[u][v]=min(dis[u][v],w);

        }

        if(cas>) printf("\n");

        printf("Case %d:\n",cas++);

        for(i=;i<=q;i++)

        {

            scanf("%d",&op);

            if(op==)

            {

                scanf("%d",&u);

                if(mark[u])

                    printf("ERROR! At point %d\n",u);

                else

                {

                    mark[u]=;

                    floyd(u);

                }

            }

            else

            {

                scanf("%d%d",&u,&v);

                if(!mark[u]||!mark[v])

                    printf("ERROR! At path %d to %d\n",u,v);

                else if(dis[u][v]==INF)

                    printf("No such path\n");

                else

                    printf("%d\n",dis[u][v]);

            }

        }

    }

    return ;

}

HDU 3631

HDU 4034 Graph               //深入理解floyd ,思维锻炼

# include<cstdio>

# include<cstring>

# include<algorithm>

using namespace std;

# define N

int dis[N][N];

int vis[N][N];

int floyd(int n)

{

    int i,j,k,ans=n*(n-);

    memset(vis,,sizeof(vis));

    for(k=;k<=n;k++)

        for(i=;i<=n;i++)

            for(j=;j<=n;j++)

            {

                if(dis[i][k]+dis[k][j]<dis[i][j])

                    return -;

                if(!vis[i][j]&&i!=k&&j!=k&&i!=j&&dis[i][k]+dis[k][j]==dis[i][j])

                {

                    ans--;

                    vis[i][j]=;

                }

            }

    return ans;

}

int main()

{

    //freopen("in.txt","r",stdin);

    int cas,T,i,j,n,ans;

    scanf("%d",&T);

    for(cas=;cas<=T;cas++)

    {

        scanf("%d",&n);

        for(i=;i<=n;i++)

            for(j=;j<=n;j++)

                scanf("%d",&dis[i][j]);

        printf("Case %d: ",cas);

        ans=floyd(n);

        if(ans==-)

            printf("impossible\n");

        else

            printf("%d\n",ans);

    }

    return ;

}

HDU 4034

4. 个人总结

Floyd算法有很多其他的应用，需要不断的积累，但是我相信只要能理解好floyd的DP思想(每个k点插入或者不插入相关路径),很多问题多能迎刃而解.

附录:关于Floyd判断环的可行性

注：该附录未经严格验证,请读者认真思考 

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