【数学/贪心/DP】【CF1088E】 Ehab and a component choosing problem

Description

给定一棵 \(n\) 个节点的树，点有点权 \(a_u\)，可能为负。现在请你在树上找出 \(k~(1~\leq~k~\leq~n)\) 个不相交集合，使得每个集合中的每对点都可以通过本集合中的点互相到达，假设选出的 \(k\) 个集合的并集为 \(s\)，要求最大化：

\[\frac{\sum_{u \in s} a_u}{k}
\]

如果有多解请输出 \(k\) 最大的解

Input

第一行是节点个数 \(n\)。

下面一行 \(n\) 个数代表点权

下面 \(n - 1\) 行描述这棵树

Output

输出一行两个整数，分别是选出的点权和以及 \(k\)

不约分

Solution

结论：在不限元素个数时，要求选出元素的平均值最大，则最优解一定为只选择元素值最大的元素。如果有多个元素的值最大，选择个数对答案无影响。

证明：数学归纳法，先将元素按照权值降序排序。当只选择 \(1\) 个元素的时候，显然选择第一个元素最优。考虑已经选了 \(k\) 个元素，现在要决定是否选 \(k + 1\) 个元素。由于是降序排序的，则这个元素的权值显然不大于前面所有元素的平均值。设前面所有元素的平均值为 \(a\)，第 \(k + 1\) 个元素的权值为 \(w\)，则选择该元素后的平均值为 \(\frac{ak + w}{k + 1}\) 。要判断它和原平均值 \(a\) 的关系，则对它们做差，记 \(\delta~=~\frac{ak + w}{k + 1} - a\)

则

\[\delta~=~\frac{ak}{k + 1} + \frac{w}{k + 1}- \frac{a(k + 1)}{k + 1}~=~\frac{w}{k + 1} - \frac{a}{k + 1}~=~\frac{w - a}{k + 1}
\]

前面已经论证 \(w~\leq~a\)，于是 \(\delta~\leq~0\)。当且仅当 \(w~=~a\) 即前 \(k + 1\) 个元素权值相同时，等号成立。证毕。

于是根据这个结论，问题就被转化成了：求一个符合要求的集合使得这个集合的权值和尽可能大，然后统计有多少个这样的不想交的集合。

第一问显然可以直接树形DP，设 \(f_u\) 为 \(u\) 的子树中必选 \(u\) 的集合的最大权值，则有：

\[f_u~=~\sum_{to} \max(f_{to}, 0)
\]

于是就可以求出最大的权值了。考虑统计答案时，由于要求的是不相交的集合，所以我们每将一个集合加入贡献以后再将这个集合删掉，一边统计答案一遍DP就可以了。

Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#ifdef ONLINE_JUDGE
#define freopen(a, b, c)
#define putchar(o) \
puts("I am a cheater!")
#endif
#define rg register
#define ci const int
#define cl const long long

typedef long long int ll;

namespace IPT {
	const int L = 1000000;
	char buf[L], *front=buf, *end=buf;
	char GetChar() {
		if (front == end) {
			end = buf + fread(front = buf, 1, L, stdin);
			if (front == end) return -1;
		}
		return *(front++);
	}
}

template <typename T>
inline void qr(T &x) {
	rg char ch = IPT::GetChar(), lst = ' ';
	while ((ch > '9') || (ch < '0')) lst = ch, ch=IPT::GetChar();
	while ((ch >= '0') && (ch <= '9')) x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48), ch = IPT::GetChar();
	if (lst == '-') x = -x;
}

template <typename T>
inline void ReadDb(T &x) {
	rg char ch = IPT::GetChar(), lst = ' ';
	while ((ch > '9') || (ch < '0')) lst = ch, ch = IPT::GetChar();
	while ((ch >= '0') && (ch <= '9')) x = x * 10 + (ch ^ 48), ch = IPT::GetChar();
	if (ch == '.') {
		ch = IPT::GetChar();
		double base = 1;
		while ((ch >= '0') && (ch <= '9')) x += (ch ^ 48) * ((base *= 0.1)), ch = IPT::GetChar();
	}
	if (lst == '-') x = -x;
}

namespace OPT {
	char buf[120];
}

template <typename T>
inline void qw(T x, const char aft, const bool pt) {
	if (x < 0) {x = -x, putchar('-');}
	rg int top=0;
	do {OPT::buf[++top] = char(x % 10 + '0');} while (x /= 10);
	while (top) putchar(OPT::buf[top--]);
	if (pt) putchar(aft);
}

const int maxn = 300010;
const int maxm = 600010;

struct Edge {
	int to;
	Edge *nxt;
};
Edge edge[maxm], *hd[maxn];int ecnt;
inline void cont(ci from, ci to) {
	Edge &e = edge[++ecnt];
	e.to = to; e.nxt = hd[from]; hd[from] = &e;
}

int n, cnt;
ll ans = -(1ll << 62);
ll MU[maxn], frog[maxn];

void reading();
void dfs(ci, ci, ci);

int main() {
	freopen("1.in", "r", stdin);
	qr(n);
	for (rg int i = 1; i <= n; ++i) qr(MU[i]);
	reading();
	dfs(1, 0, 1); dfs(1, 0, 0);
	qw(ans * cnt, ' ', true); qw(cnt, '\n', true);
	return 0;
}

void reading() {
	int a, b;
	for (rg int i = 1; i < n; ++i) {
		a = b = 0; qr(a); qr(b);
		cont(a, b); cont(b, a);
	}
}

void dfs(ci u, ci fa, ci op) {
	frog[u] = MU[u];
	for (Edge *e = hd[u]; e; e = e->nxt) {
		int &to = e->to;
		if (to == fa) continue;
		dfs(to, u, op);
		if (frog[to] > 0) frog[u] += frog[to];
	}
	if (op) ans = std::max(ans, frog[u]);
	else if (frog[u] == ans) ++cnt, frog[u] = -(1ll << 60);
}

Summary

选择任意个元素使得平均值最大时，只选择最大的就好啦