BZOJ1053：反素数（数学）

题目链接

对于任意的正整数\(x\)，记其约数的个数为\(g(x)\)。现在定义反素数：对于\(0<i<x\)，都有\(g(x)>g(i)\)，那么就称x为反素数。

现在给定一个数N,满足\(1\leq N\leq 2*10^9\)，求出不超过\(N\)的最大的反素数。

 

由反素数的定义我们知道，若\(x\)为反素数，那么\(x\)肯定是具有相同约数个数的数中最小的那一个；并且x的约数个数应该是最多的。

很明显直接枚举肯定要炸。观察到\(N\)不会超过\(2*10^9\)，那么就可以知道：\(1\)~\(N\)中任何数质因子都不超过10个，并且所有质因子的指数总和不超过30。

然后。。反素数还有一个关键的性质，就是将它质因数分解过后，其指数是单调不增的。证明的话可以考虑交换两项的指数来考虑，对于一个\(p^{k_1}\)，假设存在一个\(q^{k_2}\)并且满足\(p<q,k_1<k_2\)，那么交换\(k1,k2\)，会得到一个更小的且约数相同的数。

那么之后我们可以直接利用这些性质爆搜就好了。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 105;
ll n;
ll prime[N] = {1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29};
ll c[N];
ll qp(ll a, ll b) {
    ll ans =  1 ;
    while (b) {
        if(b & 1)
            ans = ans * a;
        a = a * a;
        b >>= 1;
    }
    return ans ;
}
ll ans, num;
void dfs(int k, int p, ll mul) {
    if(k == 11) {
        ll tmp = 1;
        for(int i = 1; i <= 10; i++) {
            tmp *= (c[i] + 1);
        }
        if(tmp > num) {
            num = tmp;
            ans = mul;
        } else if(tmp == num && ans > mul) {
            ans = mul;
        }
        return ;
    }
    ll cnt = 0;
    for(; cnt <= p; cnt++) {
        if(qp(prime[k], cnt)*mul > n) {
            if(cnt > 0)
                cnt--;
            break ;
        }
    }
    cnt = min(cnt , (ll)p);
    for(int i = cnt; i >= 0; i--) {
        c[k] = i;
        dfs(k + 1, cnt, mul * qp(prime[k], i));
    }
}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cin >> n;
    dfs(1, 31, 1);
    cout << ans;
    return 0;
}