LightOJ1245 Harmonic Number (II) —— 规律

题目链接：https://vjudge.net/problem/LightOJ-1245

1245 - Harmonic Number (II)

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I was trying to solve problem '1234 - Harmonic Number', I wrote the following code

long long H( int n ) {
    long long res = 0;
    for( int i = 1; i <= n; i++ )
        res = res + n / i;
    return res;
}

Yes, my error was that I was using the integer divisions only. However, you are given n, you have to find H(n) as in my code.

Input

Input starts with an integer T (≤ 1000), denoting the number of test cases.

Each case starts with a line containing an integer n (1 ≤ n < 2³¹).

Output

For each case, print the case number and H(n) calculated by the code.

Sample Input	Output for Sample Input
11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2147483647	Case 1: 1 Case 2: 3 Case 3: 5 Case 4: 8 Case 5: 10 Case 6: 14 Case 7: 16 Case 8: 20 Case 9: 23 Case 10: 27 Case 11: 46475828386

题意：

对于一个数n，求出 sigma(n/k)， 1<=k<=n。

题解：

1.由于n<=2^31，直接暴力不不可能的。

2.手写一下可发现一个规律， 当 n/i = k时， i的范围为 (n/(k+1), n/k]，即有n/k- n/(k+1) 个 i 使得n/i = k。

3.有了上述结论之后，就可以降低暴力程度了，设 m = sqrt(n)。先从1枚举到m，求出n/i的和，这样 [1,m] 这个区间的求值就解决了，还剩 [m+1, n] 这个区间：从m递减枚举到1，求出k*(n/k - n/(k+1))的和，这样就求出了[ n/m, n]的值，当 n/m==m时，即开始下标为m，则区间为[m,n]，所以在m的位置重复计算了，需要减去m；当n/m!=m，即n/m>m时，其实下标为m+1，所以区间为 [m+1,n]。

代码如下：

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 #include <vector>
 #include <cmath>
 #include <queue>
 #include <stack>
 #include <map>
 #include <string>
 #include <set>
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 const int INF = 2e9;
 const LL LNF = 9e18;
 const int mod = 1e9+;
 const int MAXM = 1e5+;
 const int MAXN = 1e6+;

 int main()
 {
     int T, n, kase = ;
     scanf("%d", &T);
     while(T--)
     {
         scanf("%d", &n);
         int m = sqrt(n);

         LL ans = ;
         for(int i = ; i<=m; i++) ans += n/i;
         for(int i = ; i<=m; i++) ans += 1LL*i*(n/i - n/(i+));
         if(n/m==m) ans -= m;
         printf("Case %d: %lld\n", ++kase, ans);
     }
 }