【bzoj3091】城市旅行 LCT区间合并

题目描述

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输出

样例输入

4 5
1 3 2 5
1 2
1 3
2 4
4 2 4
1 2 4
2 3 4
3 1 4 1
4 1 4

样例输出

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题解

LCT区间合并

前三个操作都是LCT的基本操作，可以LCT水过；重点在于第四个操作。

考虑一个长度为n的序列，它的子区间个数为$\sum\limits_{i=1}^ni=\frac{n(n-1)}2$，只需要维护每个子区间的长度之和即可。

考虑如果已经知道了左右子树的信息以及当前节点信息，如何更新当前子树的信息。需要解决区间合并问题。

答案除了原来两子树答案之和以外，考虑1~n序列中的第i个点，它对答案的贡献是 左边个数*右边个数$i(n-i+1)$ ，而在合并后它右边的元素多了$si[rs]+1$，故答案增加了$\sum\limits_{i\in ls}rank[i]*w[i]$。所以需要记录一个数组$lv[]$，它表示 子树中每个点的权值*该点在子树中从左向右的排名（正排名） 之和。

对于右边的点，同理，记录一个$rv[]$表示 子树中每个点的权值*该点在子树中从右向左的排名（逆排名） 之和。

于是就可以使用这两个数组更新总答案。

然后考虑怎么更新这两个数组，$lv$数组pushup时只涉及到当前节点和右子树的节点，每个节点的排名增加了$si[ls]+1$，所以$lv$除了两子树的$lv$之和外还要加上$(w[x]+sum[rs])*(si[ls]+1)$。

所以对于每个节点，维护$si,w,sum,lv,rv,tv$，分别为子树大小、当前节点权值、当前子树权值和、权值*正排名、权值*逆排名、答案（子区间总长）。

然后思考add&pushdown怎样进行：$sum$包含$si$个节点的贡献，所以加上$si*tag$；$lv,rv$包含$\sum\limits_{i=1}^{si}i=\frac{si(si+1)}2$个节点的贡献，所以加上$\frac{si(si+1)*tag}2$；$tv$包含$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^ij=\frac{n(n+1)(n+2)}6$的贡献，所以加上$\frac{n(n+1)(n+2)*tag}6$。

知道了pushup和add&pushdown怎么写以后本题就水了，直接split出链后取出$tv$，与$\frac{si(si+1)}2$作比即为答案。

但 是 有 一 点 需 要 注 意 ， 写 findroot 时 必 须 找 Splay tree 的 根 ， 而 不 是 原 树 根 ， 否 则 会 因 为 某 些 玄 学 原 因 而 无 限 TLE ！

感觉说了这么多也没有直接看代码来的直白~

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 50010
using namespace std;
typedef long long ll;
int fa[N] , c[2][N] , rev[N];
ll si[N] , w[N] , sum[N] , lv[N] , rv[N] , tv[N] , tag[N];
void rever(int x)
{
	swap(c[0][x] , c[1][x]) , swap(lv[x] , rv[x]) , rev[x] ^= 1;
}
void add(int x , ll a)
{
	w[x] += a , sum[x] += a * si[x];
	lv[x] += a * si[x] * (si[x] + 1) / 2;
	rv[x] += a * si[x] * (si[x] + 1) / 2;
	tv[x] += a * si[x] * (si[x] + 1) * (si[x] + 2) / 6;
	tag[x] += a;
}
void pushup(int x)
{
	int l = c[0][x] , r = c[1][x];
	si[x] = si[l] + si[r] + 1;
	sum[x] = sum[l] + sum[r] + w[x];
	lv[x] = lv[l] + lv[r] + (w[x] + sum[r]) * (si[l] + 1);
	rv[x] = rv[l] + rv[r] + (w[x] + sum[l]) * (si[r] + 1);
	tv[x] = tv[l] + tv[r] + lv[l] * (si[r] + 1) + rv[r] * (si[l] + 1) + w[x] * (si[l] + 1) * (si[r] + 1);
}
void pushdown(int x)
{
	int l = c[0][x] , r = c[1][x];
	if(rev[x]) rever(l) , rever(r) , rev[x] = 0;
	if(tag[x]) add(l , tag[x]) , add(r , tag[x]) , tag[x] = 0;
}
bool isroot(int x)
{
	return c[0][fa[x]] != x && c[1][fa[x]] != x;
}
void update(int x)
{
	if(!isroot(x)) update(fa[x]);
	pushdown(x);
}
void rotate(int x)
{
	int y = fa[x] , z = fa[y] , l = (c[1][y] == x) , r = l ^ 1;
	if(!isroot(y)) c[c[1][z] == y][z] = x;
	fa[x] = z , fa[y] = x , fa[c[r][x]] = y , c[l][y] = c[r][x] , c[r][x] = y;
	pushup(y) , pushup(x);
}
void splay(int x)
{
	update(x);
	while(!isroot(x))
	{
		int y = fa[x] , z = fa[y];
		if(!isroot(y))
		{
			if((c[0][y] == x) ^ (c[0][z] == y)) rotate(x);
			else rotate(y);
		}
		rotate(x);
	}
}
void access(int x)
{
	int t = 0;
	while(x) splay(x) , c[1][x] = t , pushup(x) , t = x , x = fa[x];
}
int findroot(int x)
{
	while(fa[x]) x = fa[x];
	return x;
}
void makeroot(int x)
{
	access(x) , splay(x) , rever(x);
}
void link(int x , int y)
{
	if(findroot(x) != findroot(y)) makeroot(x) , fa[x] = y;
}
void split(int x , int y)
{
	makeroot(x) , access(y) , splay(y);
}
void cut(int x , int y)
{
	split(x , y);
	if(fa[x] == y) fa[x] = c[0][y] = 0 , pushup(y);
}
ll gcd(ll a , ll b)
{
	return b ? gcd(b , a % b) : a;
}
int main()
{
	int n , m , i , opt , x , y;
	ll z , t;
	scanf("%d%d" , &n , &m);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%lld" , &w[i]) , pushup(i);
	for(i = 1 ; i < n ; i ++ ) scanf("%d%d" , &x , &y) , link(x , y);
	while(m -- )
	{
		scanf("%d%d%d" , &opt , &x , &y);
		if(opt == 1) cut(x , y);
		else if(opt == 2) link(x , y);
		else if(opt == 3)
		{
			scanf("%lld" , &z);
			if(findroot(x) == findroot(y)) split(x , y) , add(y , z);
		}
		else
		{
			if(findroot(x) == findroot(y))
			{
				split(x , y) , z = tv[y] , t = si[y] * (si[y] + 1) / 2;
				printf("%lld/%lld\n" , z / gcd(z , t) , t / gcd(z , t));
			}
			else puts("-1");
		}
	}
	return 0;
}