2018 ACM南京网络赛H题Set解题报告

题目描述

给定\(n\)个数$a_i$，起初第\(i\)个数在第\(i\)个集合。有三种操作（共\(m\)次）：

1 $u$ $v$ 将第$u$个数和第$v$个数所在集合合并

2 $u$ 将第$u$个数所在集合所有数加1

3 $u$ $k$ $x$ 问$u$所在集合有多少个数模$2^k$余$x$。

数据范围：\(n,m \le 500000,a_i \le 10^9, 0 \le k \le 30\)。

简要题解

显然此题可以用set加启发式合并在\(O(n \log ^2 n)\)时间复杂度解决本题，但此题时限1.5s，必须使用一个log的做法。事实上，这是一道十分套路的Trie树题目。

首先用并查集维护连通性。

下面先考虑操作3，这相当于询问低$k$位二进制固定时集合中元素个数，可以用Trie树，维护一个子树中终结结点有多少个即可。

对于加1操作，可以在Trie树上打标记，类似线段树进行pushDown标记下传。此题pushDown函数很新颖（之前没写过这样的pushDown），详见代码。（队友指出，此题也可以暴力更新Trie树，至多交换\(\log 10^9\)个结点；不过如果每次加的数不是1的话就必须打标记了。）

对于合并操作，类似线段树合并。由于初始时\(n\)个数共需要\(O(n \log 10^9)\)个结点，而花费O(1)的时间会将总结点数减1，故Trie树合并的总时间复杂度也为\(O(n \log 10^9)\)。关于线段树合并，可以做这道入门题练手：Codeforces Gym 101194G（2016EC Final）

总时间复杂度\(O((n+q) \log 10^9)\)。

注意事项

此题空间复杂度\(O(n \log 10^9)\)。如果Trie树合并使用新开的结点，每个结构体16B，将需要576MB，这会MLE。考虑Trie树合并时不新开结点，可以将空间降至288MB。

完整代码

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<vector>
 #define DEPTH 30
 using namespace std;
 struct Trie{
     int size;
     int next[];
     int tag;
 }trie[];
 int cnt;
 int newTrie(){
     memset(&trie[++cnt], , sizeof(Trie));
     return cnt;
 }
 inline void pushDown(int i){
     int &t = trie[i].tag;
     int &l = trie[i].next[], &r = trie[i].next[];
     if (t){
         if (t & ){ swap(l, r); trie[l].tag++; }
         if (t >= ){ trie[l].tag += t / ; trie[r].tag += t / ; }
         t = ;
     }
 }
 inline void pushUp(int i){
     trie[i].size = trie[trie[i].next[]].size + trie[trie[i].next[]].size;
 }
 void insert(int i, int depth, int x)
 {
     if (!depth){ trie[i].size++; return; }
     pushDown(i);
     int &pos = trie[i].next[x & ];
     if (!pos)pos = newTrie();
     insert(pos, depth - , x >> );
     pushUp(i);
 }
 void merge(int& i, int j, int k, int depth)
 {
     if (j&&k){
         i = j;
         if (!depth){
             trie[i].size += trie[k].size;
             return;
         }
         pushDown(j); pushDown(k);
         for (int c = ; c < ; c++)
             merge(trie[i].next[c], trie[j].next[c], trie[k].next[c], depth - );
         pushUp(i);
     }
     else i = j ? j : k;
 }
 int f[], id[];
 int getFather(int i)
 {
     if (f[i] == i)return i;
     return f[i] = getFather(f[i]);
 }
 int main()
 {
     int n, m, x, u, v, k;
     scanf("%d%d", &n, &m);
     for (int i = ; i <= n; i++){
         scanf("%d", &x);
         id[i] = newTrie();
         f[i] = i;
         insert(id[i], DEPTH, x);
     }
     while (m--){
         scanf("%d%d", &x, &u);
         u = getFather(u);
         if (x == ){
             scanf("%d", &v);
             v = getFather(v);
             if (u != v){
                 f[u] = v;
                 merge(id[v], id[u], id[v], DEPTH);
             }
         }
         else if (x == )trie[id[u]].tag++;
         else{
             scanf("%d%d", &k, &x);
             int cur;
             for (cur = id[u]; k; k--){
                 pushDown(cur);
                 cur = trie[cur].next[x & ];
                 if (!cur)break;
                 x >>= ;
             }
             if (!cur)printf("0\n");
             else printf("%d\n", trie[cur].size);
         }
     }
 }